Conjuntos conexos

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héctor manuel:

Hola ¿cómo están?  tengo un problema acerca de conjuntos conexos.  La definición que yo conozco es:
sea donde (E,d) es un espacio métrico cualquiera, y A es no vacío.

Si S y T son conjuntos abiertos en el subespacio inducido (A,d) tales que , S,T no vacíos, y entonces S y T son una disconexión de A.   si A admite alguna disconexión, entonces es disconexo.  en caso contrario se dirá que es conexo.

Partiendo de eso, si A y B son conjuntos cerrados y no vacíos de un espacio (E,d), con y conexos, demostrar que A y B son ambos conexos.

Aparte de este problema, como se darán cuenta se trata de un asunto de topología de espacios métricos, así que la solución no debe estar en "términos" de topología general.  Así que si también me pudieran escribir alguna liga para obtener más información en la red a cerca de topología de espacios métricos, porque todas las que he encontrado son de topología general.

Saludos y gracias

PD el libro que estoy usando es el Topologia de Espacios Metricos de Ignacio Iribarren
 

el_manco:
Hola

 Puedes leer aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=6214.msg26261#msg26261

 Y en este resultado no hay diferencia entre probarlo desde el punto de vista de espacios métricos, que de forma más general. Uno habla de abiertos y cerrados en cualquiera de los dos contextos, y es lo único que se utiliza.

Saludos.

Jabato:
Creo que tengo un contraejemplo, y por lo tanto tu demostración no podrá realizarse.

Supón que B es un círculo y A es un cuadrado que contiene a B y tiene todos sus puntos excepto los puntos de la circunferencia de B luego A es disconexo puesto que basta hacer que S sea el conjunto formado por los puntos interiores de B y T el conjunto formado por los puntos exteriors de B para tener una disconexión de A:

       

Pero además se cumple también que:

es conexo          es conexo

Tu demostración es por lo tanto imposible.

(*) Yo diría, aunque no ando muy seguro, que en tu definición de conjunto conexo falta algo.

Saludos, Jabato.

Braguildur:
Hola.

 El contraejemplo que puso Jabato no es tal, pues y deben ser conjuntos cerrados, pero el conjunto que considera Jabato no es cerrado.

Saludos.

Jabato:
Ya, entiendo, se me fué la olla me parece, sí.

Gracias, Jabato.

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