Matriz nilpotente y matriz idempotente. Ejercicios.

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nico:
Hola tengo el siguiente problema:

1.Una matriz es nilpotente cuando existe k (número natural) tal que = 0. *
me piden que demuestre que el determiante de cualquier matriz nilpotente , es nulo.

Calculo los determinantes de * a ambos lados de la igualdad.

det = det (0) y luego apliqé propiedades de operatorias con determinantes:
(1) = 0 por lo tanto det(A) = 0

Para llegar a (1) apliqué que det = der (A.A....A) k veces = det(A).det(A).........det(A) k veces.

2. La matriz A se llama idempotente si = A.
¿Qué valores pude tomar el determinante de una matriz idempotente?
A mi me da que las únicas matrices que lo verifican son la matriz nula y la identidad y los resultados de los determinantes son 0 y 1.

Queria ver que les parece mi demostración.

Saludos nico..


Braguildur:
Hola.

 La parte uno esta bien!!

 En la segunda pregunta tus respuesta es correcta, supongo que habrás llegado a de dónde se cocluye que los únicos valores que puede asumir el determinante son y . Pero las únicas matrices idempotentes no son las que mencionas, observa por ejemplo esta matriz



Saludos.

nico:
Si , y la verdad que no me di cuenta de que exsitían mas matrices que son idempotentes.
¿ Ahora se me ocurrió recién a raíz de esto , ¿ como puedo encontrar la forma de todas las matrices idempotentes?
¿ Es posible encontrarlas a todas?.
En este momento se me ocurre que la única forma será considerando caso a caso..

Saludos...

Braguildur:
Hola.

 Observa que si se tiene que es idempotente, dada cualquier matriz inversible, la matriz también es idempotente, pues

.

 Luego es suficiente analizar cierto tipo de matrices relativamente sencillas, y los mejores candidatos pueden ser las fórma canónicas de Jordan (no estoy seguro si las conoces, por eso no entro en más detalles) asi que es suficiente conocer qué tipo de formas canónicas son idempotentes para poder generar todas las matrices idempotentes.

 Para órdenes pequeños puedes proceder por definición, planteándote el sistema que resulta de operar e igualar componente a componente.

Saludos.

nico:
Hola , si algo vi de formas canonica de Jordan..
Ahora quiere decir que tengo que encontrar la forma canonica de Jordan asociada a dicha matriz y encontrar los valores y luego esa base me genera todo el espacio de las matrices.

Saludos..
 

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