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Autor Tema: Ecuación de la posición en un movimiento armónico simple: demostración  (Leído 577 veces)
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Marcos Castillo
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« : 20 Marzo, 2020, 06:15 »

Hola
Estoy peleando con la demostración de la ecuación de la posición en un movimiento armónico simple. Es física, pero las dudas son matemáticas. ¿Podéis echar un vistazo al razonamiento?. He intercalado en negrita tres dudas. Adjunto archivo.
¡Un saludo!

* DEDUCCION_DE_LA_ECUACION_DE_UN_M.doc (209 KB - descargado 10 veces.)
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« Respuesta #1 : 20 Marzo, 2020, 07:03 »

Hay algún tipo de error al inicio o algo: si tienes que [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\frac{k}{m}x[/texx] y se define [texx]\omega :=\sqrt{k/m}[/texx], ¿cómo es que se llega a la conclusión de que [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\omega x[/texx]? ¿No debería ser en todo caso [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\omega ^2x[/texx]?

Como hay dos soluciones a la ecuación [texx]\beta ^2=-\omega [/texx] entonces [texx]x_1[/texx] corresponde a una de las soluciones y [texx]x_2[/texx] a la otra. Como ambas soluciones son válidas y tomar derivadas es una operación lineal entonces [texx]V:=\operatorname{span}(x_1,x_2)[/texx] es un espacio vectorial de soluciones a la ecuación diferencial [texx]\frac{\partial ^2x}{\partial t^2}=-\omega x[/texx], quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1 x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial anterior, como puedes comprobar (para constantes [texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx] arbitrarias).

Hay error luego, debería ser [texx]N:=i(c_1-c_2)[/texx] en vez de [texx]i(c_1+c_2)[/texx]. Igualmente no veo muy clara la motivación para la segunda transformación.
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« Respuesta #2 : 20 Marzo, 2020, 07:49 »

¿No debería ser en todo caso [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\omega ^2x[/texx]?
Correcto, todo lo posterior al gazapo que le indicaste, podría ser incorrecto.
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« Respuesta #3 : 21 Marzo, 2020, 11:35 »

¡Hola!

Hay algún tipo de error al inicio o algo: si tienes que [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\frac{k}{m}x[/texx] y se define [texx]\omega :=\sqrt{k/m}[/texx], ¿cómo es que se llega a la conclusión de que [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\omega x[/texx]? ¿No debería ser en todo caso [texx]\frac{\partial^2 x}{\partial t^2 }=-\omega ^2x[/texx]?

Solucionado en el archivo adjunto

Como hay dos soluciones a la ecuación [texx]\beta ^2=-\omega [/texx] entonces [texx]x_1[/texx] corresponde a una de las soluciones y [texx]x_2[/texx] a la otra. Como ambas soluciones son válidas y tomar derivadas es una operación lineal entonces [texx]V:=\operatorname{span}(x_1,x_2)[/texx] es un espacio vectorial de soluciones a la ecuación diferencial [texx]\frac{\partial ^2x}{\partial t^2}=-\omega x[/texx], quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1 x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial anterior, como puedes comprobar (para constantes [texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx] arbitrarias).

Dudas:
-1- "quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1 x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial anterior, como puedes comprobar". ¿Por qué cualquiera?; ¿cuál es la razón de fondo?.
-2- "(para constantes [texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx] arbitrarias)": ¿arbitrarias?; ¿qué quiere decir "arbitrarias"?.
-3- "[texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx]". ¿Números complejos tienen que ser?.

Hay error luego, debería ser [texx]N:=i(c_1-c_2)[/texx] en vez de [texx]i(c_1+c_2)[/texx]. Igualmente no veo muy clara la motivación para la segunda transformación.

Corregido en el nuevo doc adjunto.

¡Un saludo!

* DUCCION_DE_LA_ECUACION_DE_UN_M_1.doc (0.16 KB - descargado 5 veces.)
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« Respuesta #4 : 21 Marzo, 2020, 15:33 »


-1- "quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1 x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial anterior, como puedes comprobar". ¿Por qué cualquiera?; ¿cuál es la razón de fondo?.

creeria que la solución es  del tipo [texx]x"(t)= c_1\sin x(t)+c_2cos x(t)
[/texx] y si es una solución general  ya que tanto la derivada segunda del seno es el menos seno y la derivada segunda del coseno es el menos coseno, cualquier batido(combinacion lineal) de esa solucion tambien es solución


-2- "(para constantes [texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx] arbitrarias)": ¿arbitrarias?; ¿qué quiere decir "arbitrarias"?.
quiere decir que la aceleración puede tomar cualquier valor ya que  depende  de factores que no cambian con el tiempo, ejemplo, la masa, o la constante elastica, y de la amplitud de la onda.

-3- "[texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx]". ¿Números complejos tienen que ser?.

Prefiero que alguien más te lo aclare, pero  creería que no necesariamente los [texx]c_i[/texx] son complejos.

Pd no puedo leer tu adjunto
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« Respuesta #5 : 22 Marzo, 2020, 07:08 »

Dudas:
-1- "quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1 x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial anterior, como puedes comprobar". ¿Por qué cualquiera?; ¿cuál es la razón de fondo?.

La razón de fondo, como decía antes, es que la operación de tomar derivadas es una operación lineal, es decir, si [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son funciones diferenciables, y [texx]\alpha ,\beta [/texx] son constantes entonces

[texx]\displaystyle{
(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'
}[/texx]

Entonces si [texx]u_1[/texx] y [texx]u_2[/texx] son soluciones a la ecuación diferencial lineal [texx]x' =K x [/texx] (para alguna constante [texx]K[/texx]) significa que [texx]u'_j=K u_j[/texx] para [texx]j\in\{1,2\}[/texx] y por tanto

[texx]\displaystyle{
(c_1u_1+c_2u_2)'=c_1u'_1+c_2u'_2=K c_1u_1+Kc_2u_2=K(c_1u_1+c_2u_2)
}[/texx]


Cita
-2- "(para constantes [texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx] arbitrarias)": ¿arbitrarias?; ¿qué quiere decir "arbitrarias"?.

Cualesquiera, es decir, para cualquier par [texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx] que uno tome entonces [texx]c_1x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial anterior.

Cita
-3- "[texx]c_1,c_2\in \mathbb C [/texx]". ¿Números complejos tienen que ser?.

Los números complejos engloban a los reales, es decir, 2 es un número complejo al igual que el número imaginario [texx]i[/texx]. Derivar no influye en qué tipo de número está multiplicando. Claro que en el problema del movimiento armónico simple quizá no tenga sentido considerar números imaginarios, si quieres puedes restringir el espacio vectorial de soluciones al cuerpo de los reales, puse los números complejos por dar una solución más completa.
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« Respuesta #6 : 22 Marzo, 2020, 09:06 »

¡Hola Richard R Richard, Masacroso!
A ver si en pdf podéis ver la evolución de todo lo que voy asimilando. He leído atentamente todo el hilo, y de los dos últimos mensajes voy a postergar la respuesta. Mejor dicho, voy a trasladar las dudas a otro foro: el de la UNED, en donde estoy matriculado en el curso de acceso a la universidad para mayores de 25 y 45 años. Antes de acudir al foro de la UNED he acudido a vosotros. Me resulta un entorno más acogedor, más relajado. Y ha enriquecido mi comprensión y acotado las dudas. Mi "modus operandi" es más que rebatible. Pero en cualquier caso con este hilo he avanzado un montón. Estoy en posición de hacer las tres últimas preguntas que me quedan. Preguntas que habéis respondido ya, pero me cuesta entender. :BangHead:
¡Un saludo!

* DEDUCCION_DE_LA_ECUACION_DE_UN_M_1.pdf (149.34 KB - descargado 8 veces.)
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« Respuesta #7 : 22 Marzo, 2020, 13:54 »

Hola Marcos, no veo ningún error en el Pdf, solo hice un par de lecturas, entiendo que esta bien de fondo, y no me atrevo a opinar de forma, cada uno lo presenta como le parece,  la lectura es amena quizá escasa si la función es divulgar.

Con respecto al tema de la arbitrariedad que te hace ruido,  vere si te puedo aclarar

Cuando planteas la ecuación diferencial que te lleva a una solución general, para que la ecuación te sirva en la practica, debes calcular los valores de c_1 y c_2 para las condiciones de contorno del problema, estas por lo general tienen que ver con los datos que te puedan aportar, como la amplitud máxima, una determinada posición en un tiempo o intervalo dados, la fuerza de un muelle en una posición, etc. con ello obtienes los valores c que cumplen con las condiciones del problema, pero la solución general los valores de c son arbitrarios,solo cuando le impones condiciones de contorno, quedan determinados, y la ecuación del movimiento perfectamente definida.

En la Mayoría de los problemas de física Newtoniana , no cuántica, que conozco los valores de [texx]c_i[/texx] son números reales, creo que hay soluciones a campos electromagnéticos, que si pueden tener componentes complejas, o bien se representan en el campo de los complejos... pero 100% seguro no estoy.
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« Respuesta #8 : 23 Marzo, 2020, 10:57 »

¡Hola Richard R Richard, Masacroso!

Lo tenía delante de los ojos, pero he tenido que leer el hilo unas cuantas veces, y lo he conseguido. Lo entiendo, Y os lo debo a vosotros. No sabeis lo que aprecio vuestra ayuda. Bueno, al turrón; ésta es la solución a la duda que me quedaba, que era la siguiente:
-¿Por qué cualquier función del tipo [texx]c_1x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial [texx]\dfrac{d^{2}x}{dt^2}=-\omega x[/texx]?
Explicación:
Como hay dos soluciones a la ecuación [texx]\beta^2=-\omega[/texx], entonces [texx]x_1[/texx] corresponde a una de las soluciones y [texx]x_2[/texx] a la otra. Como ambas soluciones son válidas, y tomar derivadas es una operación lineal, entonces [texx]V:\;=\mbox{span}(x_1,x_2)[/texx] es un espacio vectorial de soluciones a la ecuación diferencial [texx]\dfrac{d^{2}x}{dt^2}=-\omega x[/texx]; quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial. La razón de fondo es que la derivación es una operación lineal: [texx](\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'[/texx]; si [texx]u_1,u_2[/texx] son la solución a una ecuación diferencial [texx]x'=kx[/texx] (para alguna constante [texx]k[/texx]), [texx]u'_j=ku_j[/texx], para [texx]j=\{1,2\}[/texx], y por tanto
[texx](c_1u_1+c_2u_2)'=c_1u'_1+c_2u'_2=kc_1u_1+kc_2u_2=k(c_1u_1+c_2u_2)[/texx].
¿Correcto?. ¡Un saludo!
PD: Ahora me surge una duda:¿la ecuación diferencial no es [texx]x''=-kx[/texx]
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« Respuesta #9 : 23 Marzo, 2020, 13:49 »

¡Hola Richard R Richard, Masacroso!

Lo tenía delante de los ojos, pero he tenido que leer el hilo unas cuantas veces, y lo he conseguido. Lo entiendo, Y os lo debo a vosotros. No sabeis lo que aprecio vuestra ayuda. Bueno, al turrón; ésta es la solución a la duda que me quedaba, que era la siguiente:
-¿Por qué cualquier función del tipo [texx]c_1x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial [texx]\dfrac{d^{2}x}{dt^2}=-\omega x[/texx]?
Explicación:
Como hay dos soluciones a la ecuación [texx]\beta^2=-\omega[/texx], entonces [texx]x_1[/texx] corresponde a una de las soluciones y [texx]x_2[/texx] a la otra. Como ambas soluciones son válidas, y tomar derivadas es una operación lineal, entonces [texx]V:\;=\mbox{span}(x_1,x_2)[/texx] es un espacio vectorial de soluciones a la ecuación diferencial [texx]\dfrac{d^{2}x}{dt^2}=-\omega x[/texx]; quiere decir que cualquier función del tipo [texx]c_1x_1+c_2x_2[/texx] es solución a la ecuación diferencial. La razón de fondo es que la derivación es una operación lineal: [texx](\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'[/texx]; si [texx]u_1,u_2[/texx] son la solución a una ecuación diferencial [texx]x'=kx[/texx] (para alguna constante [texx]k[/texx]), [texx]u'_j=ku_j[/texx], para [texx]j=\{1,2\}[/texx], y por tanto
[texx](c_1u_1+c_2u_2)'=c_1u'_1+c_2u'_2=kc_1u_1+kc_2u_2=k(c_1u_1+c_2u_2)[/texx].
¿Correcto?. ¡Un saludo!
PD: Ahora me surge una duda:¿la ecuación diferencial no es [texx]x''=-kx[/texx]


Sí, tienes razón, la ecuación diferencial es [texx]x''=-\omega x[/texx], despiste mío. Pero lo de antes vale cambiando una derivada por dos derivadas seguidas ya que [texx](\alpha f+\beta g)''=\alpha f''+\beta g''[/texx] para funciones dos veces diferenciables [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] y constantes [texx]\alpha ,\beta [/texx] cualesquiera (reales o complejas).
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« Respuesta #10 : 23 Marzo, 2020, 14:00 »

Vayamos un poco mas a lo general

lo que estas estudiando son problemas que se resuelven con ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas suponiendo que [texx]x=x(t)[/texx]

[texx]ax''+bx'+cx=0[/texx]

si esta igualada a cero es homogénea

estas ecuaciones se resuelven encontrando la solución al polinomio característico al reemplazar la derivada

[texx]\dfrac{d^{n'}x}{dt^{n'}}=r^n[/texx]

transformando la ED en

[texx]ar^2+br^1+cr^0=0=ar^2+br+c[/texx]

Resolviendo una cuadrática tienes las raíces del polinomio, en función de como son las raíces, tienes tres tipos de soluciones

 si las dos raíces son [texx]r_1[/texx] y[texx] r_2[/texx] son números reales la solución general es

[texx]x(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}[/texx]

donde siempre [texx] c_1[/texx] y [texx]c_2[/texx] son constantes de integración que se determinan por las condiciones contorno

si las dos soluciones reales son iguales [texx]r_1= r_2[/texx]la solución es

[texx]x(t)=c_1e^{r_1t}+c_2xe^{r_1t}=(c_1+xc_2)e^{r_1t}[/texx]

y si las raices son complejas

es decir [texx]r_1=\alpha+\beta i[/texx] y[texx]r_2=\alpha-\beta i[/texx] la solución general es


[texx]x(t)=e^{\alpha t}\left(c_1\cos (\beta t+\phi)+c_2\sin (\beta t+\phi)\right)[/texx]

donde [texx]\phi[/texx] es un angulo de desfase que tambien se puede calcular con las condiciones de contorno


Bien esta es la base


vayamos al caso particular de la ecuacion de ondas donde

[texx]x''=-Kx[/texx]

donde [texx]K>0[/texx] es cualquier constante positiva y no debes confundirla con la constante elastica de un muelle  (alli la ecuacion es [texx]mx''=-kx[/texx]  luego pasas al caso general con [texx]K=k/m[/texx])

Así la transformacion de la ED  se resuelve haciando

[texx]x''+Kx=0[/texx]

[texx]r^2+K=0[/texx]

resolviendo el polinomio ves que las raices on complejas donde la parte real [texx]\alpha=0[/texx] es nula y [texx]\beta=\sqrt K[/texx]

las raices son [texx]r_1=+\sqrt K[/texx] y [texx]r_2=-\sqrt K[/texx]

Así la solución general es  y para no liarla  hacemos [texx]\phi=0[/texx]

[texx]x(t)=e^{\alpha t}\left(c_1\cos (\beta t+\phi)+c_2\sin (\beta t+\phi)\right)[/texx]

[texx]x(t)=e^{0 t}\left(c_1\cos (\sqrt K t)+c_2\sin (\sqrt K t)\right)=c_1\cos (\sqrt K t)+c_2\sin (\sqrt K t)[/texx]

donde ves que [texx]c_1[/texx] y [texx]c_2[/texx] son constantes arbitrarias de integración que  dependen de las condiciones de contorno.

Ahora bien si también puedes pensar que [texx]X = d_1x_1+d_2x_2[/texx]

donde [texx]x_1 =x_1(t)[/texx] y [texx]x_2 =x_2(t)[/texx] son funciones que son solución de la ED

Puedes demostrar que

[texx]\dfrac{d''X}{dt^{2}}=d_1\dfrac{d''x_1}{dt^{2}}+d_2\dfrac{d''x_2}{dt^{2}}[/texx]

es decir que cualquier combinación lineal de soluciones es solución también del mismo tipo de ecuación diferencial....

Espero te haya servido de algo todo el rollo.








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« Respuesta #11 : 23 Marzo, 2020, 14:18 »

Hola, Masacroso, Richard R Richard
Masacroso, perfecto
Richard R Richard, sí,es así
Me ha dejado agotado este problema, del que me habéis sacado vosotros. No sé cómo daros las gracias. Gracias
¡Un saludo!
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« Respuesta #12 : 25 Marzo, 2020, 20:08 »

¡Hola, Masacroso, Richard R Richard!
Echad un vistazo a los archivos adjuntos. Son razonamientos inválidos. Llegan a la conclusión de que la solución es una función exponencial compleja o una función trigonométrica (que son lo mismo), pero parten de esa idea. Es decir, presuponen que la solución a la ecuación diferencial es de la forma [texx]x=e^{i\beta}[/texx] y llegan a la conclusión de que es así. La conclusión es la premisa.  :sorprendido:
Se trata de una demostración viciada. Partí de este enlace:
https://es.*******************.net/Feligres48/deduccin-ecuacin-movimiento-armnico-simple-mas

Abusé de vuestra confianza en mi capacidad de razonar. Lo siento. No se va a volver a repetir. Lo siento.

Un saludo.
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« Respuesta #13 : 25 Marzo, 2020, 20:14 »

¡Hola, Masacroso, Richard R Richard!
Echad un vistazo a los archivos adjuntos. Son razonamientos inválidos. Llegan a la conclusión de que la solución es una función exponencial compleja o una función trigonométrica (que son lo mismo), pero parten de esa idea. Es decir, presuponen que la solución a la ecuación diferencial es de la forma [texx]x=e^{i\beta}[/texx] y llegan a la conclusión de que es así. La conclusión es la premisa.  :sorprendido:
Se trata de una demostración viciada. Partí de este enlace:
https://es.*******************.net/Feligres48/deduccin-ecuacin-movimiento-armnico-simple-mas

Abusé de vuestra confianza en mi capacidad de razonar. Lo siento. No se va a volver a repetir. Lo siento.

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« Respuesta #14 : 25 Marzo, 2020, 20:20 »

Sustituid los asteriscos por *******************. Si sigue sin dejaros, introducid el término de búsqueda "demostración de la ecuación del movimiento armónico simple" en Google.
No me deja
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« Respuesta #15 : 25 Marzo, 2020, 20:22 »

S_L_I_D_E_S_H_A_R_E.
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« Respuesta #16 : 26 Marzo, 2020, 05:01 »

Echad un vistazo a los archivos adjuntos. Son razonamientos inválidos. Llegan a la conclusión de que la solución es una función exponencial compleja o una función trigonométrica (que son lo mismo), pero parten de esa idea. Es decir, presuponen que la solución a la ecuación diferencial es de la forma [texx]x=e^{i\beta}[/texx] y llegan a la conclusión de que es así. La conclusión es la premisa.  :sorprendido:
Se trata de una demostración viciada.

No, está bien. Es algo muy habitual en ecuaciones diferenciales "probar" un tipo de funciones como solución. Aquí al final lo único que quieres es encontrar las soluciones y ver que son funciones de tipo exponencial, por lo que puedes ensayar una solución del tipo [texx]e^{ax}[/texx] y hallar una ecuación en [texx]a[/texx] que te dé las soluciones a tu ecuación de ese tipo. No es una demostración circular, aunque sí puedes considerar que el ensayar soluciones exponenciales es una "idea feliz".

Aquí lo importante es tener en cuenta que si tú quieres demostrar que una cierta función es solución de una ecuación diferencial lo único que debes hacer es comprobar que dicha función cumple la ecuación diferencial. Aunque la solución se te haya ocurrido por inspiración divina, si compruebas que cumple la ecuación diferencial tienes una demostración impecable de que es solución.

Otro tema, por completitud. En este desarrollo de tu ecuación diferencial, lo único que no queda claro ni probado de manera rigurosa es que cualquier solución a la ecuación diferencial es de la forma:
[texx]x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)[/texx]
donde [texx]x_1,x_2[/texx] son las exponenciales solución (o en tu caso, si lo prefieres, el coseno y el seno solución).
Es decir, por la linealidad hemos visto que toda función de esa forma es solución de la ecuación diferencial, pero ¿cómo sabemos que no nos estamos dejando soluciones?

En efecto estas son todas las soluciones de la ecuación, pero la demostración no es tan sencilla. La vía estándar usa un teorema general de existencia y unicidad, aunque se puede dar una demostración ad hoc para tu caso. Si te interesara te la puedo poner.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #17 : 26 Marzo, 2020, 06:23 »

¡Hola, geómetracat, muchas gracias!. Ya estoy un poco perdido, y me estoy alejando del temario. Voy a volver a los libros, para aprobar el examen de acceso a la universidad.
¡Gracias, geómetracat, Masacroso, Richard R Richard!
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« Respuesta #18 : 27 Marzo, 2020, 01:27 »


Echad un vistazo a los archivos adjuntos. Son razonamientos inválidos. Llegan a la conclusión de que la solución es una función exponencial compleja o una función trigonométrica (que son lo mismo), pero parten de esa idea. Es decir, presuponen que la solución a la ecuación diferencial es de la forma [texx]x=e^{i\beta}[/texx] y llegan a la conclusión de que es así. La conclusión es la premisa.  :sorprendido:


Hola Marcos, la tarea de la física es encontrar el mejor modelo para describir lo que sucede en la naturalez. Las matemáticas son la herramienta que tiene para poder hacer predicciones de como funciona ese modelo ante determinados parámetros pre establecido.

A priori nada impide que cualquiera sea la función que describa el movimiento de una partícula de prueba de la cual se conocen solo algunas características de la posición ,la velocidad y la aceleración, es sencillo de darse cuenta de la relación periódica de un MAS, pero no por ello de las ecuaciones diferenciales que propongas obtendrás las funciones matemáticas que gobiernan el modelo.
Puede probarse mediante cálculo de variaciones, que de todas las trayectorias posibles, la que hace mínima (o, más bien, estacionaria) la anterior expresión es la que corresponde para todo ''i'' la siguiente ecuación:

[texx]0 = \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q_i(t), \dot{q}_i(t),t) dt[/texx]

Es decir, la variación de la integral temporal de la función lagrangiana es igual a cero.

De la infinidad de trayectorias que puede elegir cualquier sistema mecánico, la trayectoria que describan sus partes deberan cumplir el principio de mínima acción, esto es qu se cumple que la acción de esa trayectoria tiene un mínimo, cuando la función es la propuesta.

seguramente te podrá resultar familiar, pero en resumidas cuentas existe una función matemática llamada acción, que se monta en base a la densidades de energía del sistema (lagrangiano),
Luego esa función se deriva e iguala a 0 como cualquier otra función para hallar sus máximos y mínimos...Resulta que si cargas cualquier otra función que no sean las sinusoidales , la acción no resulta mínima, esta teoría predice que en este tipo de movimientos resultara la sinusoide y en la práctica tenemos la comprobación, no es que se ha puesto a dedo la solución existen razones fundadas para este y otros temas  como ser la cinemática newtoniana, la mecánica cuántica, hasta la teoría de la relatividad, etc.

 
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Saludos  \(\mathbb {R}^3\)
Marcos Castillo
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« Respuesta #19 : 27 Marzo, 2020, 07:43 »

¡Hola Richard R Richard!

He leído detenidamente tu mensaje, pero mi nivel de matemáticas efectivo, a día de hoy, muy insuficiente para entender tu razonamiento. En cuanto a la conclusión,


...Resulta que si cargas cualquier otra función que no sean las sinusoidales , la acción no resulta mínima, esta teoría predice que en este tipo de movimientos resultara la sinusoide y en la práctica tenemos la comprobación, no es que se ha puesto a dedo la solución existen razones fundadas para este y otros temas  como ser la cinemática newtoniana, la mecánica cuántica, hasta la teoría de la relatividad, etc.
 

Es muy interesante: no es una elección casual la de plantear [texx]e^{\beta t}[/texx] como una función que satisface la ecuación diferencial [texx]\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-kx[/texx]. ¡Muchas gracias!.

Un saludo
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