Axioma del ínfimo

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nati:
Hola
Tengo que demostrar que todo subconjunto de reales, no vacío, acotado inferiormente, tiene ínfimo en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Y tengo que demostrar la equivalencia entre este resultado y el Axioma de Completitud. ¿Ustedes como harían?

Gracias.

escarabajo:
Hola..

Según lo que me enseñaron a mi, el axioma de completitud dice que todo subconjunto no vacio y acotado superiormente tiene supremo.

Para demostrar lo que te piden toma el opuesto de tu conjunto.

Es decir, tenés tu conjunto S acotado inferiormente. Entonces -S va a ser acotado superiormente,no vacio, y por el axioma de completitud tiene supremo.

Mostra que el supremo de -S es el ínfimo de S.

Saludos.

nati:
(Según un ejemplo el opuesto del supremo de -S es el ínfimo de S)

Bueno pero no sé demostrar eso...!  :-\
A ver...
Sabemos que [texx]X\subseteq{\mathbb{R}}[/texx] no vacio acotado inferiormente, tiene ínfimo.
[texx](-X)=\{z\in{\mathbb{R}}:z=-a, a\in{X}\}[/texx]
X esta acotado inferiormente entonces [texx]\exists{ }[/texx] k cota inferior de X
Para todo a (a pertenece a X), [texx]k\leq{a}[/texx] y [texx]-k\geq{-a}[/texx]
Entonces [texx]-k\geq{Z}[/texx]
Por completitud existe el supremo de -X
[texx]z=-a\leq{sup(-X)}[/texx]
[texx]a\geq{-sup(-X)}[/texx]
Y luego no sé que hacer  ???

Gracias

Saludos

escarabajo:
Cita de: nati en 12/04/2008, 04:25:06 pm

Sabemos que [texx]X\subseteq{\mathbb{R}}[/texx] no vacio acotado inferiormente, tiene ínfimo.


Ojo, porque ahi estás suponiendo lo que en efecto queres demostrar(que tiene ínfimo).

Lo que sabes es que [texx]X[/texx] es acotado inferiormente, por lo tanto, [texx]\exists \ c \ / c<x \ \forall x \ \in X[/texx].

[texx]c<x \Rightarrow -c>-x[/texx]

Esto lo alcanzaste a probar, con lo anterior deducimos que el conjunto [texx]-X=\{-x / \ x \ \in \ X\} [/texx] es acotado superiormente ya que [texx]-c[/texx] es una cota superior. (Además es no vacio, esto es facil de ver).

Por lo tanto tiene supremo.Llamemos [texx]s[/texx] al supremo de [texx]-X[/texx].

Ahora, supone por absurdo que -s no es el ínfimo de [texx]\red X[/texx], entonces existe algun [texx]x_0[/texx] de [texx]X[/texx] que sea menor que -s, [texx]x_0<-s \Rightarrow -x_0>-(-s)\Rightarrow -x_0>s[/texx]

Y esto último es absurdo porque [texx]-x_0 \in (-X)[/texx] y [texx]s[/texx] es el supremo de dicho conjunto.

Saludos.

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