Axioma del ínfimo

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nati:
Hola
Tengo que demostrar que todo subconjunto de reales, no vacío, acotado inferiormente, tiene ínfimo en . Y tengo que demostrar la equivalencia entre este resultado y el Axioma de Completitud. ¿Ustedes como harían?

Gracias.

escarabajo:
Hola..

Según lo que me enseñaron a mi, el axioma de completitud dice que todo subconjunto no vacio y acotado superiormente tiene supremo.

Para demostrar lo que te piden toma el opuesto de tu conjunto.

Es decir, tenés tu conjunto S acotado inferiormente. Entonces -S va a ser acotado superiormente,no vacio, y por el axioma de completitud tiene supremo.

Mostra que el supremo de -S es el ínfimo de S.

Saludos.

nati:
(Según un ejemplo el opuesto del supremo de -S es el ínfimo de S)

Bueno pero no sé demostrar eso...!  :-\
A ver...
Sabemos que no vacio acotado inferiormente, tiene ínfimo.

X esta acotado inferiormente entonces k cota inferior de X
Para todo a (a pertenece a X), y
Entonces
Por completitud existe el supremo de -X


Y luego no sé que hacer  ???

Gracias

Saludos

escarabajo:
Cita de: nati en 12/04/2008, 04:25:06 pm

Sabemos que no vacio acotado inferiormente, tiene ínfimo.


Ojo, porque ahi estás suponiendo lo que en efecto queres demostrar(que tiene ínfimo).

Lo que sabes es que es acotado inferiormente, por lo tanto, .



Esto lo alcanzaste a probar, con lo anterior deducimos que el conjunto es acotado superiormente ya que es una cota superior. (Además es no vacio, esto es facil de ver).

Por lo tanto tiene supremo.Llamemos al supremo de .

Ahora, supone por absurdo que -s no es el ínfimo de , entonces existe algun de que sea menor que -s,

Y esto último es absurdo porque y es el supremo de dicho conjunto.

Saludos.

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