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Autor Tema: Subanillos  (Leído 397 veces)
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Farifutbol
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« : 16 Febrero, 2020, 07:08 »

Se considera la ecuación [texx]E:x^2-bx+c=0[/texx] con b y c enteros y tales que [texx]b^4-4ac<0[/texx].
Siendo a un número complejo, se define el conjunto [texx]{Z}_a[/texx] de los números complejos de la forma [texx]z=p+qa[/texx] con p y q enteros.
a)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces [texx]{Z}_a[/texx] es un subanillo de los complejos.
b)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces [texx]G_a[/texx], el conjunto de los elementos de [texx]{Z}_a[/texx] inversibles para la multiplicación es subgrupo multiplicativo
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 17 Febrero, 2020, 09:07 »

Hola

Se considera la ecuación [texx]E:x^2-bx+c=0[/texx] con b y c enteros y tales que [texx]b^4-\color{red}4ac\color{black}<0[/texx].

Supongo que es: "tales que [texx]b^4-\color{red}4c\color{black}<0[/texx]."

Cita
Siendo a un número complejo, se define el conjunto [texx]{Z}_a[/texx] de los números complejos de la forma [texx]z=p+qa[/texx] con p y q enteros.
a)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces [texx]{Z}_a[/texx] es un subanillo de los complejos.

Por la conocida caracterización de subanillo y dado que claramente [texx]{Z}_a\subset \Bbb C[/texx] es no vacío, basta ver que si [texx]z=p+qa[/texx] y [texx]z'=p'+q'a[/texx] son elementos de [texx]Z_a[/texx] entonces:

i) [texx]z-z'\in Z_a[/texx].
ii) [texx]zz'\in Z_a[/texx].

Para (ii) hay que tener en cuenta que por ser a raíz del polinomio dado: [texx]a^2=ab-c[/texx]. Por lo demás sale de manera inmediata.

Cita
b)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces [texx]G_a[/texx], el conjunto de los elementos de [texx]{Z}_a[/texx] inversibles para la multiplicación es subgrupo multiplicativo

¡Pero eso es una propiedad general de cualquier anillo [texx]A[/texx]!. Su conjunto [texx]U[/texx] de unidades es subgrupo multiplicativo ya que si [texx]x,y[/texx] son inversibles, [texx]x^{-1},y^{-1}[/texx] son inversibles ([texx](x^{-1})^{-1}=e[/texx]) y [texx]xy[/texx] es inversible [texx]((xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1})[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 18 Febrero, 2020, 15:40 »


¡Pero eso es una propiedad general de cualquier anillo [texx]A[/texx]!. Su conjunto [texx]U[/texx] de unidades es subgrupo multiplicativo ya que si [texx]x,y[/texx] son inversibles, [texx]x^{-1},y^{-1}[/texx] son inversibles ([texx](x^{-1})^{-1}=e[/texx]) y [texx]xy[/texx] es inversible [texx]((xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1})[/texx].

Saludos.
Pero, en principio tenemos que demostrar que [texx]xy^{-1}[/texx] pertenece al subgrupo, y eso no lo has demostrado, no?
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« Respuesta #3 : 19 Febrero, 2020, 03:46 »

Hola

Pero, en principio tenemos que demostrar que [texx]xy^{-1}[/texx] pertenece al subgrupo, y eso no lo has demostrado, no?

Las condiciones:

i) [texx]x,y\in U\quad \Rightarrow{}\quad xy\in U[/texx].
ii) [texx]x\in U\quad \Rightarrow{}\quad x^{-1}\in U[/texx]

Equivalen a:

iii)  [texx]x,y\in U\quad \Rightarrow{}\quad xy^{-1}\in U[/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Todo esto es teoría estándar de grupos y subgrupos.

Saludos.
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