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Autor Tema: Hallar la forma trigonométrica  (Leído 144 veces)
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nktclau
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« : 13/02/2020, 23:18:02 »

Hola GENTE!! necesito de vuestra valiosa ayuda, por favor, con el siguiente ejercicio.


Para el siguiente número complejo calcular su forma trigonométrica para [texx]n=2[/texx]  y para [texx]n=3[/texx] [texx]\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)+cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \cdot i^n\right]^{-2}[/texx]

Si [texx]\color\blue n=2 \Longrightarrow{i^2=-1}\color\black[/texx] y por lo tanto [texx]\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)- cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2}[/texx].

Este número complejo es un número real pues tiene la parte imaginaria nula.

Sea [texx]z=sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)[/texx]

[texx]|z|=\sqrt[ ]{\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)\right]^2}[/texx]

Como [texx]sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \approx{-0,467} <0[/texx] Podemos concluir [texx]\alpha=Arg(Z)=\pi[/texx]. Luego  [texx]z=|z|cis (\pi)\Longrightarrow{\alpha=\displaystyle\frac{23}{14}\pi}[/texx]

[texx]z^{-2}=\left[|z| cis (\pi) \right]^{-2}\underbrace{=}_{DeMoivre}|z|^{-2} cis (-2 \cdot \pi)[/texx]

Como [texx]0\leq{Arg(w)\leq{2\pi}}[/texx] entonces [texx]z^{-2}= |z|^{-2} cis (2\pi)[/texx] ¿Es correcto?  :¿eh?: :¿eh?:

Si [texx]\color\blue n=3 \Longrightarrow{i^3=-i}\color\black[/texx] y por lo tanto [texx]\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)+(-i) \cdot cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2}=\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-i \cdot cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2}[/texx].

[texx]|z|=\sqrt[ ]{\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \right]^2 + \left[cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \right]^2}=1[/texx]

Sea [texx]\alpha=Arg(z)[/texx] y [texx]\alpha'=Arctg\left(\displaystyle\frac{cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)}{sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)} \right)=\displaystyle\frac{5}{14}\pi[/texx]

Por lo tanto [texx]\alpha=\displaystyle\frac{23}{14}\pi[/texx]

Luego [texx]z= cis \left(\displaystyle\frac{23}{14}\pi\right)[/texx]

[texx]z^{-2}=\left[cis \left(\displaystyle\frac{23}{14}\pi \right) \right]^{-2}=cis \left(\displaystyle\frac{-23}{7}\pi \right)[/texx] Como [texx]0\leq{Arg(w)\leq{2\pi}}[/texx] le quitamos un giro a este argumento que no satisface la definición y nos queda [texx]\lambda=\displaystyle\frac{-9}{7}\pi[/texx], ahora debemos hacerlo positivo.

Si a [texx]\displaystyle\frac{-9}{7}\pi+2\pi=\displaystyle\frac{5}{7}\pi[/texx]

Así [texx]cis \left(\displaystyle\frac{5}{7}\pi \right)[/texx] es correcto?   :¿eh?: :¿eh?:

Desde ya muchísimas gracias!!

Saludos
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 14/02/2020, 01:06:18 »

Hola

El primero está bien, yo me quedaría con Arg(Z)=0, pero hay que seguir las instrucciones de tu profesor.


A ver el segundo usando la forma exponencial

[texx]Z=\dfrac{1}{(sen(\frac{\pi}{7})-icos(\frac{\pi}{7}))^2}=\dfrac{1}{(-i(cos(\frac{\pi}{7})+isen(\frac{\pi}{7})))^2}=\dfrac{1}{(e^{-i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{i(\frac{\pi}{7})})^2}=\dfrac{1}{(e^{-i\frac{5\pi}{14}})^2}=\dfrac{1}{e^{-i\frac{5\pi}{7}}}=\bf e^{i\frac{5\pi}{7}}[/texx]

Obtengo el mismo resultado, debe estar bien.

Saludos
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nktclau
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« Respuesta #2 : 14/02/2020, 10:19:24 »

GENIO Ingmarov MILLÓN DE GRACIAS!!!  Aplauso Aplauso Aplauso :guiño:
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 14/02/2020, 12:40:28 »

Hola
GENIO Ingmarov MILLÓN DE GRACIAS!!!  Aplauso Aplauso Aplauso :guiño:
:sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia: ya quisiera yo  ser un genio... No lo soy.

No le tengas miedo a esta materia, eres lista y si te calmas la superarás fácilmente.

Saludos
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« Respuesta #4 : 15/02/2020, 22:44:49 »

GRACIAS ingmarov!!!  :guiño:
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