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Autor Tema: Duda variable compleja  (Leído 211 veces)
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MatMiki
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« : 13/02/2020, 12:19:32 »

Buenas tardes, tengo una duda acerca del siguiente enunciado.

Dada [texx] f:\mathbb{D}\rightarrow{\mathbb{C}} [/texx] continua, holomorfa en [texx]\mathbb{D}[/texx] y con [texx]\left |{f(z)}\right | = 1[/texx], [texx]\forall{z} \in{frontera(D)}[/texx]. Sabemos que si [texx]f[/texx] no tiene ceros en el disco abierto, entonces es constante. ¿Es cierto que [texx]f[/texx] tiene a lo sumo un número finito de ceros en [texx]\mathbb{D}[/texx]?
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 13/02/2020, 12:27:13 »

Hola. Nota que si hay un número infinito de ceros, entonces puedes encontrar una sucesión de ceros que converge a algún punto dentro de D (porque éste es compacto). La sucesión no converge a un punto de la frontera de D porque f es 1 ahí. Tienes entonces que f es constante igual a 0 en el disco abierto, y 1 en la frontera.
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« Respuesta #2 : 13/02/2020, 13:16:18 »

Hola. Nota que si hay un número infinito de ceros, entonces puedes encontrar una sucesión de ceros que converge a algún punto dentro de D (porque éste es compacto). La sucesión no converge a un punto de la frontera de D porque f es 1 ahí. Tienes entonces que f es constante igual a 0 en el disco abierto, y 1 en la frontera.





¡Muchas  gracias! Siguiendo con el tema, ¿cómo podría probar que existen [texx] c \in{\mathbb{frontera(D)}}, k \geq{0}, N \geq{0}, a_1, a_2, \ldots, a_N \in{\mathbb{D}}[/texx] (no necesariamente distintos), tales que [texx]f(z)=cz^k\displaystyle\prod_{n=1}^{N}{\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}}, \forall{z } \in{\overline{\mathbb{D}}} [/texx]?
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« Respuesta #3 : 14/02/2020, 15:51:45 »

¡Muchas  gracias! Siguiendo con el tema, ¿cómo podría probar que existen [texx] c \in{\mathbb{frontera(D)}}, k \geq{0}, N \geq{0}, a_1, a_2, \ldots, a_N \in{\mathbb{D}}[/texx] (no necesariamente distintos), tales que [texx]f(z)=cz^k\displaystyle\prod_{n=1}^{N}{\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}}, \forall{z } \in{\overline{\mathbb{D}}} [/texx]?

No hay de qué. Para el otro problema puedes definir [texx]g(z)= \displaystyle\frac{f(z)}{z^k\displaystyle\prod_{n=1}^{N}{\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}}}[/texx] donde los [texx]a_n[/texx] son los ceros de [texx]f[/texx] tomados con su multiplicidad, y k es la multiplicidad de 0 si [texx]f(0)=0[/texx].

Nota que [texx]g[/texx] es holomorfa y que alcanza su máximo en la frontera (por el principio de módulo máximo). Además no tiene ceros, así que [texx]1/g[/texx] también tiene su máximo (que sería el mínimo de [texx]g[/texx]) en la frontera. Prueba entonces que [texx]|g(z)|=1[/texx] para [texx]z[/texx] en la frontera de [texx]D[/texx]. Primero muestra que eso es cierto para cada [texx]\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}[/texx].

Una vez ahí, se sigue que [texx]g[/texx] tiene módulo constante 1 en [texx]D[/texx], por lo que tiene que ser constante (ya que es holomorfa).

Añadido.
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« Respuesta #4 : 17/02/2020, 13:18:31 »

Pero [texx] \displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z} [/texx] tendrá ceros en los [texx] a_n [/texx], luego no podría dividir a f, ¿no?
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« Respuesta #5 : 17/02/2020, 14:13:09 »

Los [texx]a_n[/texx] son los ceros de [texx]f[/texx].

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« Respuesta #6 : 17/02/2020, 14:18:54 »

Cierto, gracias de nuevo!!! :cara_de_queso:
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