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Autor Tema: Intervalos de confianza  (Leído 106 veces)
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ivangranados
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« : 13/02/2020, 05:48:06 »

Sea [texx](X_1,X_2)[/texx] una muestra aleatoria simple de tamaño 2 de la variable aleatoria X que
sigue una distribución Normal con media cero y varianza [texx]1/θ[/texx] siendo θ un parámetro
desconocido. Consideramos la siguiente función de la muestra
[texx]T(X1,X2) = 1/2(X_1^2+X_2^2)[/texx]
2 ) Se pide:
a) Calcular la distribución de [texx]2θT (X_1,X_2)[/texx].
b) Hallar un intervalo de confianza basado en [texx]2θT (X_1,X_2)[/texx] para el parámetro θ y para
un nivel [texx]1 − \alpha[/texx] con [texx]\alpha ∈ (0, 1)[/texx].
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« Respuesta #1 : 13/02/2020, 07:30:47 »

Define [texx]Z_1= \frac{X_1}{\sqrt{\theta}}[/texx] y [texx]Z_2= \frac{X_2}{\sqrt{\theta}}[/texx]. Tanto [texx]Z_1[/texx] como [texx]Z_2[/texx] tienen una distribución normal estándar, [texx]N(0,1)[/texx]. Como [texx]X_1,X_2[/texx] son independientes, también lo son [texx]Z_1,Z_2[/texx]. Así pues, [texx]Z_1^2+Z_2^2[/texx] tiene una distribución chi cuadrado con [texx]2[/texx] grados de libertad.

Así pues,
[texx]2 \theta T(X_1,X_2)= \theta (X_1^2+X_2^2) = Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2_2.[/texx]

Para encontrar el intervalo de confianza, impones:
[texx]1- \alpha = P(\chi^2_{2,(1-\alpha)/2} \leq 2\theta T(X_1,X_2)\leq \chi^2_{2, \alpha/2}) = P\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} \leq \theta \leq \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right)[/texx]

Así pues, el intervalo de confianza al nivel [texx]1-\alpha[/texx] es
[texx]\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} , \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right)[/texx].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
ivangranados
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« Respuesta #2 : 13/02/2020, 09:36:31 »

Muchas gracias por tu ayuda. Un saludo


Define [texx]Z_1= \frac{X_1}{\sqrt{\theta}}[/texx] y [texx]Z_2= \frac{X_2}{\sqrt{\theta}}[/texx]. Tanto [texx]Z_1[/texx] como [texx]Z_2[/texx] tienen una distribución normal estándar, [texx]N(0,1)[/texx]. Como [texx]X_1,X_2[/texx] son independientes, también lo son [texx]Z_1,Z_2[/texx]. Así pues, [texx]Z_1^2+Z_2^2[/texx] tiene una distribución chi cuadrado con [texx]2[/texx] grados de libertad.

Así pues,
[texx]2 \theta T(X_1,X_2)= \theta (X_1^2+X_2^2) = Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2_2.[/texx]

Para encontrar el intervalo de confianza, impones:
[texx]1- \alpha = P(\chi^2_{2,(1-\alpha)/2} \leq 2\theta T(X_1,X_2)\leq \chi^2_{2, \alpha/2}) = P\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} \leq \theta \leq \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right)[/texx]

Así pues, el intervalo de confianza al nivel [texx]1-\alpha[/texx] es
[texx]\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} , \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right)[/texx].
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