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Autor Tema: Duda sobre proposición de álgebras de Lie Isomorfas  (Leído 98 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
FerOliMenNewton
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« : 13/02/2020, 05:23:34 »

Hola, me interesa probar que dos álgebras de Lie son isomorfas si y sólo si existen bases en las cuales las constantes de estructura coinciden.
Supongamos que estas álgebras de Lie son [texx]L_{1}[/texx] y [texx]L_{2}[/texx].
Para la segunda parte sabemos del álgebra lineal que existe una transformación lineal [texx]T:L_{1}\rightarrow{L_{2}}[/texx] biyectiva tal que [texx]T(e_{i})=w_{i}[/texx] siendo [texx]\left\{{e_{1},...,e_{n}}\right\}[/texx] la base de [texx]L_{1}[/texx] y  [texx]\left\{{w_{1},...,w_{n}}\right\}[/texx] la base de [texx]L_{2}[/texx] respectivamente.
Dicha transformación es un morfismo de álgebras de Lie por lo que las álgebras son efectivamente isomorfas.
Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo podría proceder de forma "elegante" para la primera parte, lo que intenté fue empezar con un vector distinto de cero en [texx]L_{2}[/texx] y de ahí extenderlo a una base adecuada, también intenté usar el hecho de que [texx]T([e_{i},e_{j}])=[T(e_{i}),T(e_{j})][/texx] y que [texx]T(e_{k})=\displaystyle\sum_{i=1}^n{ai\cdot{w_{i}}}[/texx] pero en ambos casos las cuentas se volvieron un caos, podrían darme alguna sugerencia por favor?
De antemano muchas gracias.
Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/02/2020, 06:01:18 »

Hola

Hola, me interesa probar que dos álgebras de Lie son isomorfas si y sólo si existen bases en las cuales las constantes de estructura coinciden.
Supongamos que estas álgebras de Lie son [texx]L_{1}[/texx] y [texx]L_{2}[/texx].
Para la segunda parte sabemos del álgebra lineal que existe una transformación lineal [texx]T:L_{1}\rightarrow{L_{2}}[/texx] biyectiva tal que [texx]T(e_{i})=w_{i}[/texx] siendo [texx]\left\{{e_{1},...,e_{n}}\right\}[/texx] la base de [texx]L_{1}[/texx] y  [texx]\left\{{w_{1},...,w_{n}}\right\}[/texx] la base de [texx]L_{2}[/texx] respectivamente.
Dicha transformación es un morfismo de álgebras de Lie por lo que las álgebras son efectivamente isomorfas.

Bien, aunque la afirmación en rojo es algo que se debería de demostrar usando las constantes de estructura.

Cita
Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo podría proceder de forma "elegante" para la primera parte, lo que intenté fue empezar con un vector distinto de cero en [texx]L_{2}[/texx] y de ahí extenderlo a una base adecuada, también intenté usar el hecho de que [texx]T([e_{i},e_{j}])=[T(e_{i}),T(e_{j})][/texx] y que [texx]T(e_{k})=\displaystyle\sum_{i=1}^n{ai\cdot{w_{i}}}[/texx] pero en ambos casos las cuentas se volvieron un caos, podrían darme alguna sugerencia por favor?
De antemano muchas gracias.

Pues simplemente si las álgebras son isomorfas existe un isomorfismo de álgebras de Lie:

[texx]T:L_1\to L_2[/texx]

Entonces dada cualquier base [texx]\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}[/texx] de [texx]L_1[/texx] por ser isomorfismo lineal [texx]\{T(u_1),T(u_2),\ldots,T(u_n)\}[/texx].

Además si:

[texx][u_i,u_j]=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}a_{ij}^ku_k[/texx]

entonces:

[texx][T(u_i),T(u_j)]=T[u_i,u_j]=T\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{}a_{ij}^ku_k\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}a_{ij}^kT(u_k)[/texx]

y por tanto se conservan las constantes de estructura.

Saludos.
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FerOliMenNewton
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« Respuesta #2 : 13/02/2020, 22:02:42 »

!Oh! Es verdad, había olvidado eso que dices : si [texx]\left\{{e_{1},...,e_{n}}\right\}[/texx] es base de [texx]V[/texx] y [texx]T:V\rightarrow{W}[/texx] es isomorfismo entonces necesariamente [texx]\left\{{T(e_{1}),...,T(e_{n})}\right\}[/texx] es base de [texx]W[/texx].
De antemano gracias.
Saludos  :cara_de_queso:  :sonrisa_amplia:
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