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Autor Tema: W isomorfo a V, suma directa y bicondicional  (Leído 89 veces)
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JoanL
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« : 12/02/2020, 19:35:12 »

Hola a todos.
Estudiando para mi parcial de álgebra lineal, me encontré con estos ejercicios interesantes pero que no he podido resolver:
1) Sea [texx]T:V\longrightarrow{}W[/texx] una transformación lineal inyectiva. Muestre que [texx]W[/texx] tiene un subespacio isomorfo a [texx]V[/texx].

2)Sea [texx]U[/texx] un espacio vectorial y  [texx]T:U\longrightarrow{}U[/texx] una transformación lineal tal que [texx]T \circ{} T = T[/texx]. Sea
[texx]W[/texx][texx]=[/texx]{[texx]x\in{}U:T(x)=x[/texx]} y [texx]V[/texx][texx]=[/texx]{[texx]x\in{}U:T(x)=[/texx] 0}. Muestre que:
 a. [texx]U=V\oplus{}W[/texx]
 b. [texx]T(U)=W[/texx]
 c. [texx]T(V)=[/texx]0

3)Muestre que una función [texx]T:\mathbb{R}^n\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx] es una transformación lineal si y solamente si existen escalares de [texx]a_1,...,a_n[/texx] tales que
                                                                [texx]T(x_1,...,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}(a_i x_i)[/texx]
Intenté en 1) nombrar a un conjunto como el generado de una base de W, pero me perdí un poco.
Les agradecería mucho su ayuda.
Saludos.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #1 : 12/02/2020, 21:07:55 »

Hola, para el 3)

Si [texx]T(x)=\sum a_i x_i[/texx], entonces:
\begin{align*}T(\alpha x+\beta y)=  a_1(\alpha x_1+\beta y_1)+\ldots+a_n(\alpha x_n+\beta y_n)=\\
\alpha a_1x_1+\ldots +\alpha a_n x_n+\beta a_1 y_1+\ldots+\beta a_n y_n=\\
\alpha (a_1x_1+\ldots + a_n x_n)+ \beta( a_1 y_1+\ldots+a_ny_n)=\\
\alpha T(x)+\beta T(y)
\end{align*}

Si [texx]T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)[/texx], y siendo [texx]\{u_i\}[/texx] una base de [texx]\mathbb{R}^n[/texx], entonces:
\begin{align*}T(x)=T(\sum x_i u_i)=T(x_1u_1+\ldots +x_n u_n)=\\
x_1 T(u_1)+\ldots + x_n T(u_n)=\begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{T(u_1)|}&{\ldots}&{|T(u_n)}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{\vdots}\\{x_n}\end{array}\right]=
\begin{bmatrix}{b_{11}}&{\dots}&{b_{1n}}\\{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{b_{n1}}&{\dots}&{b_{nn}}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{\vdots}\\{x_n}\end{array}\right]=\\
b_{11} x_1+\ldots +b_{1n}x_n+\ldots +& \\
+ b_{i1}x_1+\ldots+b_{in}x_n+\ldots+& \\
+b_{n1}x_1+\ldots+ b_{nn}x_n =\\
(b_{11}+\ldots + b_{i1}+\ldots+b_{n1})x_1+\ldots+\\
(b_{1n}+\ldots+b_{in}+\ldots + b_{nn})x_n=\\
(\sum_{i=1}^n b_{i1})x_1+\ldots +(\sum_{i=1}^n b_{in})x_n=\\
\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n b_{ij}x_j=\sum_{i=1}^n a_i x_i
\end{align*}
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 13/02/2020, 04:28:27 »

Hola

Hola a todos.
Estudiando para mi parcial de álgebra lineal, me encontré con estos ejercicios interesantes pero que no he podido resolver:
1) Sea [texx]T:V\longrightarrow{}W[/texx] una transformación lineal inyectiva. Muestre que [texx]W[/texx] tiene un subespacio isomorfo a [texx]V[/texx].

Directamente el subespacio imagen, [texx]Im(W)[/texx] es isomorfo a [texx]V[/texx] mediante la propia restricción de la aplicación [texx]T[/texx]:

[texx]T':V\to Im(T),\qquad T'(v)=T(v)[/texx]

que es lineal e inyectiva por serlo [texx]T[/texx] y obviamente sobreyectiva. Por tanto un isomorfismo.

Cita
2)Sea [texx]U[/texx] un espacio vectorial y  [texx]T:U\longrightarrow{}U[/texx] una transformación lineal tal que [texx]T \circ{} T = T[/texx]. Sea
[texx]W[/texx][texx]=[/texx]{[texx]x\in{}U:T(x)=x[/texx]} y [texx]V[/texx][texx]=[/texx]{[texx]x\in{}U:T(x)=[/texx] 0}. Muestre que:
 a. [texx]U=V\oplus{}W[/texx]
 b. [texx]T(U)=W[/texx]
 c. [texx]T(V)=[/texx]0

Tienes que probar que [texx]V\cap W=\{\vec 0\}[/texx]. Es muy inmediato. Compruébalo.

Y que [texx]U=V+W,[/texx] es decir, que todo vector [texx]\vec u\in U[/texx] puedes escribirse como suma de uno de [texx]V[/texx] y otro de [texx]W[/texx].

Pero nota que:

[texx]\vec u=T(\vec u)+\vec u-T(\vec u)[/texx]

y verifica que [texx]T(\vec u)\in W[/texx] y [texx]\vec u-T(\vec u)\in V[/texx].
 
Para (b) aplica (a). (c) es inmediato.

Para la segunda parte de lo que hace Bobby Fischer es un poco más inmediato trabajando directamente con la base canónica. Es decir:

[texx]T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=T(x_1(1,0,\ldots,0)+x_2(0,1,\ldots,0)+\ldots+x_n(0,0,\ldots,1))=\\
=x_1\underbrace{T(1,0,\ldots,0)}_{a_1}+x_2\underbrace{T(0,1,\ldots,0)}_{a_2}+\ldots+x_n\underbrace{T(0,0,\ldots,1)}_{a_n}[/texx]

Saludos.
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