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Autor Tema: Espacio vectorial  (Leído 167 veces)
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mg
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« : 12/02/2020, 18:08:35 »

Sea [texx]F[/texx] el conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo [texx][0,1][/texx] tales que [texx]2f(0)=f(1)[/texx]. Prueba que forma un espacio vectorial en [texx]\mathbb{R}[/texx].

He intentado empezar asi:
Sean [texx]f,g\in{F}[/texx] y [texx]x,y\in{[0,1]}[/texx]entonces como [texx]f(x)\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx]g(y)\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx](\mathbb{R},+)[/texx] es una operacion interna se tiene que  [texx](f(x)+g(y))\in{\mathbb{R}}[/texx].
Sean [texx]f\in{F}[/texx],[texx]x,\in{[0,1]}[/texx] y sea [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx] entonces como [texx](\mathbb{R},*)[/texx] es una operacion interna se tiene que [texx]bf(x)\in{\mathbb{R}}[/texx]
Sin embargo casi con total seguridad no estoy en lo cierto ya que el dato de [texx]2f(0)=f(1)[/texx] no lo uso y eso no es buena señal, pero tampoco se como usarlo sin perder la generalidad. Agradeceria que me echaran una mano, gracias.
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« Respuesta #1 : 12/02/2020, 19:40:33 »

Sea [texx]F[/texx] el conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo [texx][0,1][/texx] tales que [texx]2f(0)=f(1)[/texx]. Prueba que forma un espacio vectorial en [texx]\mathbb{R}[/texx].

He intentado empezar asi:
Sean [texx]f,g\in{F}[/texx] y [texx]x,y\in{[0,1]}[/texx]entonces como [texx]f(x)\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx]g(y)\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx](\mathbb{R},+)[/texx] es una operacion interna se tiene que  [texx](f(x)+g(y))\in{\mathbb{R}}[/texx].
Sean [texx]f\in{F}[/texx],[texx]x,\in{[0,1]}[/texx] y sea [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx] entonces como [texx](\mathbb{R},*)[/texx] es una operacion interna se tiene que [texx]bf(x)\in{\mathbb{R}}[/texx]
Sin embargo casi con total seguridad no estoy en lo cierto ya que el dato de [texx]2f(0)=f(1)[/texx] no lo uso y eso no es buena señal, pero tampoco se como usarlo sin perder la generalidad. Agradeceria que me echaran una mano, gracias.


Tienes que mostrar que las funciones que cumplen [texx]2f(0)=f(1)[/texx] forman un espacio vectorial, es decir, que si [texx]c f+g=h[/texx] para algún [texx]c\in \Bbb R [/texx], entonces [texx]2h(0)=h(1)[/texx] cuando [texx]2f(0)=f(1)[/texx] y [texx]2g(0)=g(1)[/texx].
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mg
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« Respuesta #2 : 12/02/2020, 19:56:44 »

vale, creo que lo tengo
 
sean [texx]f,g\in{F}[/texx] y [texx]c\in{\mathbb{R}}[/texx] si
[texx]cf+g=h[/texx] entonces [texx]h(1)=cf(1)+g(1)=2(cf(0)+g(0))=2h(0)[/texx]
lo que no me queda claro es como definir h porque si digo desde el principio que [texx]\in{F}[/texx] entonces ya habria acabado
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« Respuesta #3 : 12/02/2020, 20:07:46 »

vale, creo que lo tengo
 
sean [texx]f,g\in{F}[/texx] y [texx]c\in{\mathbb{R}}[/texx] si
[texx]cf+g=h[/texx] entonces [texx]h(1)=cf(1)+g(1)=2(cf(0)+g(0))=2h(0)[/texx]
lo que no me queda claro es como definir h porque si digo desde el principio que [texx]\in{F}[/texx] entonces ya habria acabado

No tienes que decir nada, es decir, [texx]h[/texx] es una función cualquiera definida por combinación lineal de otras dos que sí pertenecen a [texx]F[/texx]. Observa que [texx]h[/texx] es una función real bien definida, es decir, cumple la definición de función real.
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« Respuesta #4 : 12/02/2020, 20:12:15 »

muchas gracias ya me quedo todo superclaro
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 13/02/2020, 04:42:12 »

Hola

Sea [texx]F[/texx] el conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo [texx][0,1][/texx] tales que [texx]2f(0)=f(1)[/texx]. Prueba que forma un espacio vectorial en [texx]\mathbb{R}[/texx].

He intentado empezar asi:
Sean [texx]f,g\in{F}[/texx] y [texx]x,y\in{[0,1]}[/texx]entonces como [texx]f(x)\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx]g(y)\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx](\mathbb{R},+)[/texx] es una operacion interna se tiene que  [texx](f(x)+g(y))\in{\mathbb{R}}[/texx].
Sean [texx]f\in{F}[/texx],[texx]x,\in{[0,1]}[/texx] y sea [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx] entonces como [texx](\mathbb{R},*)[/texx] es una operacion interna se tiene que [texx]bf(x)\in{\mathbb{R}}[/texx]
Sin embargo casi con total seguridad no estoy en lo cierto ya que el dato de [texx]2f(0)=f(1)[/texx] no lo uso y eso no es buena señal, pero tampoco se como usarlo sin perder la generalidad. Agradeceria que me echaran una mano, gracias.

Sólo un añadido; aunque es muy inmediato tienes que probar también que el conjunto dado es no vacío. En particular que contiene al vector (a la función) cero. Es obvio porque ésta cumple [texx]2f(0)=0=f(1)[/texx].

Saludos.
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