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Autor Tema: Equivalencia de normas en un espacio vectorial de dimensión finita  (Leído 205 veces)
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Bobby Fischer
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« : 12/02/2020, 17:36:32 »

Hola, (aquí he estado pensando un poco, dad vuestra opinión si queréis)

La equivalencia de normas en un espacio vectorial [texx]V[/texx] de dimensión finita se define como:
Existen constantes [texx]c[/texx] y [texx]d[/texx] positivas tales que para cualesquiera normas definidas en [texx]V[/texx] se tiene: [texx]c||v||_1\leq ||v||_2\leq d||v||_1[/texx]
La norma induce una distancia en [texx]V[/texx], que puede definirse como [texx]d(x,y)=||x-y||[/texx]
Si [texx]y=x_n[/texx], los elementos de una sucesión [texx](x_n)[/texx], entonces [texx]d(x,x_n)=||x-x_n||[/texx]
Si [texx]x[/texx] es el límite de la sucesión [texx](x_n)[/texx], entonces: [texx]\lim_{n\to+\infty}d(x,x_n)=\lim_{n\to +\infty}||x-x_n||=0[/texx]
Como cualquier norma es equivalente a cualquier otra norma, se tiene: [texx]\lim_{n\to +\infty}c||x-x_n||_1\leq \lim_{n\to +\infty}||x-x_n||_2\leq \lim_{n\to +\infty}d||x-x_n||_1[/texx]
Y si [texx](x_n) [/texx] converge a [texx]x[/texx] con la primera, también converge con la segunda.
Por tanto, sea cual sea la norma escogida, el límite de cualquier sucesión [texx](x_n)[/texx] en [texx]V[/texx], si existe, sigue siendo el mismo. ¿Cuál es la importancia de esto?
Supongamos que la equivalencia de normas no ocurriera. Entonces, si se definen dos normas distintas sobre [texx]V[/texx], cada una de ellas induciendo una distancia, se tendría que, definida un sucesión de elementos de [texx]V[/texx], [texx](x_n)[/texx], esta sucesión no tiene por qué converger al mismo elemento dependiendo de la norma escogida. Es decir, que podría darse que, teniendo por ejemplo definida una sucesión de puntos en el espacio, siguiéndola desde el punto inicial al final llego a sitios diferentes dependiendo de cómo mida. Si defino como sucesión los pasos que tengo que dar de mi casa al supermercado, dependiendo de cómo mida, puede que siguiendo exactamente los mismos pasos, unas veces llegue al supermercado y otras no. Esto es una contradicción. Entonces la equivalencia de normas debe ocurrir (y de hecho ocurre, tal y como se prueba matemáticamente).
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« Respuesta #1 : 12/02/2020, 20:00:42 »

Hola, (aquí he estado pensando un poco, dad vuestra opinión si queréis)

La equivalencia de normas en un espacio vectorial [texx]V[/texx] de dimensión finita se define como:
Existen constantes [texx]c[/texx] y [texx]d[/texx] positivas tales que para cualesquiera normas definidas en [texx]V[/texx] se tiene: [texx]c||v||_1\leq ||v||_2\leq d||v||_1[/texx]
La norma induce una distancia en [texx]V[/texx], que puede definirse como [texx]d(x,y)=||x-y||[/texx]
Si [texx]y=x_n[/texx], los elementos de una sucesión [texx](x_n)[/texx], entonces [texx]d(x,x_n)=||x-x_n||[/texx]
Si [texx]x[/texx] es el límite de la sucesión [texx](x_n)[/texx], entonces: [texx]\lim_{n\to+\infty}d(x,x_n)=\lim_{n\to +\infty}||x-x_n||=0[/texx]
Como cualquier norma es equivalente a cualquier otra norma, se tiene: [texx]\lim_{n\to +\infty}c||x-x_n||_1\leq \lim_{n\to +\infty}||x-x_n||_2\leq \lim_{n\to +\infty}d||x-x_n||_1[/texx]
Y si [texx](x_n) [/texx] converge a [texx]x[/texx] con la primera, también converge con la segunda.
Por tanto, sea cual sea la norma escogida, el límite de cualquier sucesión [texx](x_n)[/texx] en [texx]V[/texx], si existe, sigue siendo el mismo. ¿Cuál es la importancia de esto?
Supongamos que la equivalencia de normas no ocurriera. Entonces, si se definen dos normas distintas sobre [texx]V[/texx], cada una de ellas induciendo una distancia, se tendría que, definida un sucesión de elementos de [texx]V[/texx], [texx](x_n)[/texx], esta sucesión no tiene por qué converger al mismo elemento dependiendo de la norma escogida. Es decir, que podría darse que, teniendo por ejemplo definida una sucesión de puntos en el espacio, siguiéndola desde el punto inicial al final llego a sitios diferentes dependiendo de cómo mida. Si defino como sucesión los pasos que tengo que dar de mi casa al supermercado, dependiendo de cómo mida, puede que siguiendo exactamente los mismos pasos, unas veces llegue al supermercado y otras no. Esto es una contradicción. Entonces la equivalencia de normas debe ocurrir (y de hecho ocurre, tal y como se prueba matemáticamente).

Acabas de (re)descubrir la topología. Un espacio normado, en dimensión finita, siempre define la misma topología, es por eso que la convergencia es la misma. Es decir: la convergencia de una sucesión es un concepto puramente topológico, no métrico.

Pero ojo: existen métricas en espacios finitos que definen topologías diferentes a una inducida por una norma, por ejemplo la distancia discreta define la topología discreta, donde no existe ningún punto límite en el espacio y por tanto no hay sucesiones convergentes más que las eventualmente constantes.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #2 : 12/02/2020, 21:23:44 »

Gracias Masacroso!

Saludos.
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« Respuesta #3 : 13/02/2020, 04:40:00 »

Hola

Por tanto, sea cual sea la norma escogida, el límite de cualquier sucesión [texx](x_n)[/texx] en [texx]V[/texx], si existe, sigue siendo el mismo. ¿Cuál es la importancia de esto?

Que dos espacios métricos tengan exactamente las mismas sucesiones convergentes equivale a que definen la misma topología. Esto es debido a que la continuidad en espacios métricos puede caracterizarse mediante la continuidad secuencial. Por tanto si tienen las mismas sucesiones convergentes la aplicación identidad entre el espacio (con las dos métricas) es continua y de hecho un homeomorfismo.

Cita
Supongamos que la equivalencia de normas no ocurriera. Entonces, si se definen dos normas distintas sobre [texx]V[/texx], cada una de ellas induciendo una distancia, se tendría que, definida un sucesión de elementos de [texx]V[/texx], [texx](x_n)[/texx], esta sucesión no tiene por qué converger al mismo elemento dependiendo de la norma escogida. Es decir, que podría darse que, teniendo por ejemplo definida una sucesión de puntos en el espacio, siguiéndola desde el punto inicial al final llego a sitios diferentes dependiendo de cómo mida. Si defino como sucesión los pasos que tengo que dar de mi casa al supermercado, dependiendo de cómo mida, puede que siguiendo exactamente los mismos pasos, unas veces llegue al supermercado y otras no. Esto es una contradicción. Entonces la equivalencia de normas debe ocurrir (y de hecho ocurre, tal y como se prueba matemáticamente).

Esté párrafo no lo entiendo. Que todas las normas sean equivalentes es una propiedad muy particular de los espacios vectoriales de dimensión finita. Y ni siquiera es cierto que todas las métricas sean equivalentes.

Digo esto porque pareciera que de lo que he marcado en rojo, afirmas que es imposible que dependiendo de la métrica una sucesión tenga distintos límites. Y no es imposible. Se pueden definir métricas en el plano, donde dos sucesiones tengan límites diferentes.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13/02/2020, 16:28:54 »

Hola,

Que dos espacios métricos tengan exactamente las mismas sucesiones convergentes equivale a que definen la misma topología. Esto es debido a que la continuidad en espacios métricos puede caracterizarse mediante la continuidad secuencial. Por tanto si tienen las mismas sucesiones convergentes la aplicación identidad entre el espacio (con las dos métricas) es continua y de hecho un homeomorfismo.

Ahora que me lo has explicado, lo comprendo como intuición.

Cita
Esté párrafo no lo entiendo. Que todas las normas sean equivalentes es una propiedad muy particular de los espacios vectoriales de dimensión finita. Y ni siquiera es cierto que todas las métricas sean equivalentes.

Digo esto porque pareciera que de lo que he marcado en rojo, afirmas que es imposible que dependiendo de la métrica una sucesión tenga distintos límites. Y no es imposible. Se pueden definir métricas en el plano, donde dos sucesiones tengan límites diferentes.

Sí, quizás haya tenido poca ocasión de trabajar con métricas y límites de sucesiones para poder apreciar que éstas pueden tener más de un límite. Y sí, creo que el problema está en que todavía asocio a [texx]\mathbb{R}^3[/texx] la distancia euclídea por defecto. Es como si hubiese confundido los conceptos de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] y [texx]\mathbb{R}^3[/texx] con la métrica. Cuando pienso en el espacio en que vivo, automáticamente le asocio la distancia euclídea. Por eso lo del supermercado. Del hecho de "ver" "gráficamente" que, por ejemplo, la sucesión de puntos del plano [texx](1/n,0)[/texx] converge a [texx](0,0)[/texx] cuando [texx]n\to \infty[/texx], automáticamente pienso que no puede tener más que un límite que es el punto [texx](0,0)[/texx].

En efecto, tengo un pequeño cacao mental. Ahora me doy cuenta de que sacar el límite de la sucesión y hacer que el límite de la distancia euclídea de dicha sucesión a los posibles puntos de convergencia sea cero son cosas equivalentes. Lo he hecho así:

Sea la sucesión de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] dada por [texx]x_n=(1/n,0)[/texx]

Por un lado se tiene: [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=(0,0)[/texx], que es como yo lo he hecho de toda la vida.

Por otro lado, suponiendo que [texx]z[/texx] fueran los posibles puntos de convergencia, si estuviéramos en [texx]\mathbb{R}^m[/texx] con la distancia euclídea, se tendría:

[texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}d_e(z,x(n))=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt{(z_1-x_1(n))^2+\ldots+(z_m-x_m(n))^2}[/texx]

Pero estamos considerando [texx]\mathbb{R}^2[/texx]:

[texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}d_e((z_1,z_2),(x_1(n),x_2(n)))=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt{(z_1-x_1(n))^2+(z_2-x_2(n))^2}=0[/texx]

Lo cual ocurre si y sólo si: [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(z_1-x_1(n))^2+(z_2-x_2(n))^2=0[/texx]

De nuevo, si y sólo si: [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(z_1-x_1(n))^2=0 \quad \wedge \quad \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(z_2-x_2(n))^2=0[/texx]

Si y sólo si: [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}z_1-x_1(n)=0 \quad \wedge \quad \displaystyle\lim_{n\to +\infty}z_2-x_2(n)=0[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_1(n)=z_1 \quad \wedge \quad \displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_2(n)=z_2[/texx]

Como la sucesión era: [texx](x_1(n),x_2(n))=(1/n,0)[/texx], se tiene:

[texx]z_1=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}1/n=0 \quad \wedge \quad z_2=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}0=0 [/texx]

[texx]z=(z_1,z_2)=(0,0)[/texx] es el punto límite.
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« Respuesta #5 : 14/02/2020, 04:16:11 »

Hola

Sea la sucesión de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] dada por [texx]x_n=(1/n,0)[/texx]

Por un lado se tiene: [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=(0,0)[/texx], que es como yo lo he hecho de toda la vida.

Cada vez que aplicas límite en ese contexto "por debajo" estás usando una topología que te permite definir el concepto de límite. Así ese "por un lado" que citas ahí y el "por otro lado" que pones debajo es el mismo.

Un ejemplo. Considera la función biyectiva:

[texx]f:\Bbb R\to \Bbb R[/texx]

[texx]f(x)=\begin{cases} 1-x & \text{si } x=0\textsf{ ó }x=1\\x & \text{en otro caso}\end{cases}[/texx]

define la métrica:

[texx]d_{loca}(x,y)=d_{usual}(f(x),f(y))[/texx]

Comprueba que es una métrica y que en el espacio métrico [texx](\Bbb R,d_{loca})[/texx]:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}=[/texx]1

Saludos.
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« Respuesta #6 : 14/02/2020, 04:35:12 »

Vale, lo intento cuando regrese.

Saludos
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« Respuesta #7 : 14/02/2020, 15:18:54 »

Un ejemplo. Considera la función biyectiva:

[texx]f:\Bbb R\to \Bbb R[/texx]

[texx]f(x)=\begin{cases} 1-x & \text{si } x=0\textsf{ ó }x=1\\x & \text{en otro caso}\end{cases}[/texx]

define la métrica:

[texx]d_{loca}(x,y)=d_{usual}(f(x),f(y))[/texx]

Comprueba que es una métrica y que en el espacio métrico [texx](\Bbb R,d_{loca})[/texx]:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}=[/texx]1

Saludos.

Comprobado, gracias.
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