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Autor Tema: Solicitud de ayuda con [texx] x^2 - xy + y^2 = w^3[/texx]  (Leído 122 veces)
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Joseferm
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« : 12/02/2020, 09:57:10 »

Buenos día a todos.

Me encuentro con un problema que seguramente es sencillo de resolver, pero no lo consigo.

Pretendo analizar la ecuación  [texx]x^2 - xy + y^2 = w^3[/texx]  para x,y,w naturales >0 , con  (x,y)=1 , uno par y el otro impar.

Es decir, qué condiciones deben reunir x,y naturales coprimos para que la ecuación dé como resultado un cubo.

Mediante excel, llego a determinar que para que pueda cumplirse , necesariamente x e y han de cumplir que

[texx]x\equiv 0 \pmod{18}[/texx]
[texx]y\equiv \pm 1 \pmod{18}[/texx]

Sin embargo no consigo demostrarlo.

Alguien puede echar una mano ?

Gracias por anticipado.
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martiniano
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« Respuesta #1 : 15/02/2020, 05:37:05 »

Hola.

No lo he resuelto pero creo que los tiros van por algo de enteros ciclotómicos de orden 3. Se habla algo de ellos en el hilo de comentarios a la demostración del teorema de Fermat para [texx]n=3[/texx].

EDITADO
No entiendo mucho del tema, pero el miembro de la izquierda es la norma de un entero ciclotómico, y por tanto los primos que la dividan un número impar de veces sólo pueden ser el 3 o primos de la forma [texx]6k+1[/texx]. El recíproco también es cierto. Entonces con eso ya sabes para qué valores de [texx]w[/texx] la ecuación tiene solución.

Espero que sirva. Un saludo.
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Joseferm
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« Respuesta #2 : 17/02/2020, 18:38:50 »

Muchas gracias Martiniano. A ver si con esto me arreglo.
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