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Autor Tema: Hallar todos los ideales de una subálgebra de Lie  (Leído 160 veces)
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FerOliMenNewton
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« : 11/02/2020, 04:25:44 »

Hola a todos, espero que estén bien, les envío un cordial saludo :cara_de_queso:
Tengo una duda respecto al siguiente ejercicio:
Sea [texx]G=t_{0}(3;\mathbb{R})[/texx] el conjunto de matrices estrictamente triangulares superiores de [texx]3x3[/texx] con entradas reales.
Me piden hallar los ideales y el centro de [texx]G[/texx].
Para la segunda parte , por definición [texx]A\in{Z(G)}[/texx] si y sólo si [texx][A,B]=AB-BA=0[/texx] [texx]\forall{B\in{G}}[/texx]
[texx]\Leftrightarrow{a_{12} b_{23}=b_{12} a_{23}}[/texx]
[texx]\Leftrightarrow{a_{12}=a_{23}=0}[/texx]
Siendo [texx]a_{ij},b_{kl}[/texx] las entras de [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] respectivamente, de modo que el centro es [texx]span\left\{{E_{13}}\right\}[/texx] cierto?
Siendo [texx]E_{13}[/texx] la matriz de [texx]3x3[/texx] que vale [texx]1[/texx] en la entrada (1,3) y cero en todas las demás.
Ahora bien, cómo puedo hallar todos los ideales de [texx]t_{0}(3,\mathbb{R})[/texx]? Hasta ahora solo veo los triviales(el centro y el cero) , pero hay más? Si es así cómo puedo hallarlos? No me queda claro.
De antemano gracias, saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/02/2020, 04:48:38 »

Hola

 El centro está bien.

 Los ideales son, si no me equivoco, además del cero, cualquier subespacio vectorial que contenga al centro.

Saludos.
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FerOliMenNewton
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« Respuesta #2 : 11/02/2020, 21:28:49 »

Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta :sonrisa:
Entiendo, tienes razón, si por ejemplo algún subespacio de dimensión dos no contiene al centro entonces una base para ese subespacio necesariamente es [texx]\left\{{E_{12},E_{23}}\right\}[/texx] cierto? Pero [texx][E_{12},E_{23}]=E_{13}\not\in{span\left\{{E_{12},E_{23}}\right\}}[/texx] de modo que ese subespacio no podría ser ideal.
Nuevamente gracias.
Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/02/2020, 04:13:50 »

Hola

Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta :sonrisa:
Entiendo, tienes razón, si por ejemplo algún subespacio de dimensión dos no contiene al centro entonces una base para ese subespacio necesariamente es [texx]\left\{{E_{12},E_{23}}\right\}[/texx] cierto?

No. Por ejemplo el subespacio generado por [texx]E_{12}+E_{23}[/texx] no contiene al centro.

La idea es:

1) Sea [texx]I[/texx] un subespacio que contiene al centro. Sea [texx]A=\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}[/texx] y [texx]B=\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\\\end{pmatrix}\in I[/texx]. Entonces:

[texx][A,B]=\begin{pmatrix}0&0&az-cx\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}\in Z(G)\subset I[/texx]

y por tanto [texx]I[/texx] es ideal.

2) Recíprocamente sea [texx]I[/texx] ideal no nulo. Sea  [texx]B=\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\\\end{pmatrix}\in I[/texx] no nula.

- Si [texx]x=z=0[/texx] entonces [texx]y\neq 0[/texx] y [texx]B=yE_{13}[/texx], luego [texx]Z(G)=<B>\subset I[/texx].
- Si [texx]x\neq 0[/texx] entonces [texx][E_{23},B]=-xE_{13}[/texx]  luego [texx]Z(G)=<-xE_{13}>\subset I[/texx].
- Si [texx]z\neq 0[/texx] entonces [texx][E_{12},B]=zE_{13}[/texx]  luego [texx]Z(G)=<zE_{13}>\subset I[/texx].

Saludos.
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FerOliMenNewton
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« Respuesta #4 : 13/02/2020, 04:24:44 »

Hola

Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta :sonrisa:
Entiendo, tienes razón, si por ejemplo algún subespacio de dimensión dos no contiene al centro entonces una base para ese subespacio necesariamente es [texx]\left\{{E_{12},E_{23}}\right\}[/texx] cierto?

No. Por ejemplo el subespacio generado por [texx]E_{12}+E_{23}[/texx] no contiene al centro.

La idea es:

1) Sea [texx]I[/texx] un subespacio que contiene al centro. Sea [texx]A=\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}[/texx] y [texx]B=\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\\\end{pmatrix}\in I[/texx]. Entonces:

[texx][A,B]=\begin{pmatrix}0&0&az-cx\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}\in Z(G)\subset I[/texx]

y por tanto [texx]I[/texx] es ideal.

2) Recíprocamente sea [texx]I[/texx] ideal no nulo. Sea  [texx]B=\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\\\end{pmatrix}\in I[/texx] no nula.

- Si [texx]x=z=0[/texx] entonces [texx]y\neq 0[/texx] y [texx]B=yE_{13}[/texx], luego [texx]Z(G)=<B>\subset I[/texx].
- Si [texx]x\neq 0[/texx] entonces [texx][E_{23},B]=-xE_{13}[/texx]  luego [texx]Z(G)=<-xE_{13}>\subset I[/texx].
- Si [texx]z\neq 0[/texx] entonces [texx][E_{12},B]=zE_{13}[/texx]  luego [texx]Z(G)=<zE_{13}>\subset I[/texx].

Saludos.
Okay, ya veo :sonrisa:
¡Muchas gracias!
Saludos.
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