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Autor Tema: Demostración complejos  (Leído 280 veces)
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nktclau
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« : 10/02/2020, 15:40:08 »

Hola AMIGOS! habiendo leido mi teoría y dado que en ella se dicta la definicion de números complejos, módulo de un complejo, pasaje a la forma polar, propiedades del conjugados, y operaciones (sin DeMoivre aún) me solicitan que pruebe lo siguiente

a) Sea [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx] y [texx]z \in{\mathbb{C}}[/texx] tal que [texx]z^n=1[/texx] pruebe que [texx]\forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l}[/texx]. Luego utilizando esto verificar que [texx]\displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}}[/texx]

En la primer parte del inciso a) ¿se debe aplicar inducción para esta demostración?

Necesito una guía de como comenzar no que lo realicen. Gracias!!

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/02/2020, 15:57:48 »

Hola

Hola AMIGOS! habiendo leido mi teoría y dado que en ella se dicta la definicion de números complejos, módulo de un complejo, pasaje a la forma polar, propiedades del conjugados, y operaciones (sin DeMoivre aún) me solicitan que pruebe lo siguiente

a) Sea [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx] y [texx]z \in{\mathbb{C}}[/texx] tal que [texx]z^n=1[/texx] pruebe que [texx]\forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l}[/texx]. Luego utilizando esto verificar que [texx]\displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}}[/texx]

En la primer parte del inciso a) ¿se debe aplicar inducción para esta demostración?

No. No tienes que usar inducción:

i) Usando que [texx]z^n=1[/texx] aplicando módulo deduce que [texx]|z|=1[/texx].

ii) Nota que [texx]z^{n-l}=z^nz^{-l}=1\cdot z^{-l}[/texx]

iii) [texx]z^{-l}=\dfrac{1}{z^{l}}[/texx]. Multiplica numerador y denominador por el conjugado...

iv) Más adelante para la segunda parte nota que:

[texx]\displaystyle\binom{n}{l}=\displaystyle\binom{n}{n-l}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 10/02/2020, 16:10:31 »

Hola Luis Fuentes MILLON DE GRACIAS!!!  :guiño:
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nktclau
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« Respuesta #3 : 12/02/2020, 23:04:46 »

Hola GENTE!! bueno llevo unos días dándole vueltas a la segunda parte del enunciado

Sea [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx] y [texx]z \in{\mathbb{C}}[/texx] tal que [texx]z^n=1[/texx] pruebe que [texx]\forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l}[/texx]. Luego utilizando esto verificar que [texx]\displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}}[/texx]


Tomando en cuenta los que me sugiere Luis Fuentes hice lo sigiuiente

[texx]\displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}=\displaystyle\sum_{(n-l)=0}^n{\displaystyle\binom{n}{n-l}z^{n-l}}=\displaystyle\sum_{(n-l)=0}^n{\displaystyle\binom{n}{n-l} \cdot \bar{z}^l}[/texx]

De ahi no puedo pasar  :BangHead: :BangHead: :¿eh?:

GRACIAS!

Saluditos
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ingmarov
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« Respuesta #4 : 13/02/2020, 01:59:18 »

Hola.  He agregado la n a la segunda suma, había olvidado ponerla.

A ver si eso te ayuda

Si sumamos el primer término de la serie con el último tenemos

[texx]z^0+z^n=1+1=2[/texx]

Ahora el segundo con el penúltimo

[texx]n(z^1+{\color{blue}z^{n-1}})=n(z^1+{\color{blue}\overline{(z^{1})}})=\bf 2nRe(z^1)[/texx]

Lo que está en azul lo probaste en el primer inciso.

Puedes seguir sumando tercero con ante penúltimo, resultarán reales. Luego el resto de términos.


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Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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nktclau
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« Respuesta #5 : 19/02/2020, 15:58:29 »

Hola Ingmarov MUCHÍSIMAS GRACIAS!!! me ayudo muchisimo.

Ciertamente me tomo su tiempo, claro!  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia:

Sólo me queda una duda, de tanto desmenuzar este tema me surgió la siguiente pregunta.

Si [texx]n[/texx] es impar entonces tengo [texx]n+1[/texx] términos y entonces la suma podré realizarla de dos en dos términos, hasta completar los [texx]n+1[/texx]  terminos, valga la redundancia.

y si [texx]n[/texx] es par el número de términos que tengo es impar y al sumar dos a dos, hay uno, más precisamente el termino [texx]\displaystyle\frac{n}{2}[/texx] que queda "solo" ¿como analizo eso?

GRACIAS!!
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Abdulai
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« Respuesta #6 : 19/02/2020, 16:08:38 »

Cita
...
y si [texx]n[/texx] es par el número de términos que tengo es impar y al sumar dos a dos, hay uno, más precisamente el termino [texx]\displaystyle\frac{n}{2}[/texx] que queda "solo" ¿como analizo eso?

Con [texx]n[/texx] par, ese término que te queda aislado vale siempre [texx]-1[/texx]
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« Respuesta #7 : 19/02/2020, 16:26:02 »

Barbaro!!GRACIAS Abdulai  :sonrisa:
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