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Autor Tema: Generalización del UTF4 sin descenso (II)  (Leído 136 veces)
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Fernando Moreno
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« : 09/02/2020, 12:35:03 »

A.

Demostración de que no es posible que se dé a la vez:

[texx]\pmb{x^2=a^2+b^2}[/texx]   

[texx]\pmb{y^2=a^2-b^2}[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  enteros, coprimos y que  [texx]a\not\equiv[/texx] b  mod [texx]2[/texx] .

Como  [texx]a,b[/texx]  son coprimos, lo serán a su vez:  [texx]x,y[/texx] .  Si  " [texx]a[/texx] "  fuera par, entonces, Módulo 4,  " [texx]y^2[/texx] "  sería congruente con 3. Lo que no puede ser porque no es un residuo cuadrático. Luego  " [texx]b[/texx] "  debe ser par.

Tenemos pues que: 
 
[texx]y^2=(a+b)(a-b)[/texx]   

[texx]-y^2=x^2-2a^2\,=\,(x+a\sqrt{2})(x-a\sqrt{2})[/texx]   

[texx]y^2=x^2-2b^2\,=\,(x+b\sqrt{2})(x-b\sqrt{2})[/texx]


El cuerpo cuadrático  [texx]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx]  representa una extensión de grado 2 sobre  [texx]\mathbb{Q}[/texx]  y la base entera de su correspondiente anillo  [texx]\mathbb{Z}(\sqrt{2})[/texx]  es:  [texx]\{1,\sqrt{2}\}[/texx] .

En este anillo, un primo de  " [texx]y[/texx] "  tendrá la forma de  [texx]p+q\sqrt{2}[/texx]  ( [texx]p,q[/texx]  enteros y coprimos)  para poder dividir á  [texx]x+a\sqrt{2}\,,\,x-a\sqrt{2}\,,\,x+b\sqrt{2}\,\,\vee\,\,x-b\sqrt{2}[/texx] .  Y como  [texx]a+b[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a-b[/texx]  son coprimos. Supongamos, sin perder generalidad, que un primo  " [texx]p+q\sqrt{2}[/texx] "  de  " [texx]a+b[/texx] "  divide á  " [texx]x+a\sqrt{2}[/texx] "  -y- á  " [texx]x+b\sqrt{2}[/texx] " .

De esta manera:


[texx]\dfrac{x+a\sqrt{2}}{p+q\sqrt{2}}\,=\,\dfrac{(x+a\sqrt{2})\cdot (p-q\sqrt{2})}{p^2-2q^2}\,=\,\dfrac{xp-xq\sqrt{2}+ap\sqrt{2}-2aq}{p^2-2q^2}[/texx]


[texx]=\,\dfrac{xp-2aq}{p^2-2q^2}+\dfrac{ap-xq}{p^2-2q^2}\,\sqrt{2}[/texx]


Y :  [texx]\dfrac{x+b\sqrt{2}}{p+q\sqrt{2}}\,=\,\dfrac{(x+b\sqrt{2})\cdot (p-q\sqrt{2})}{p^2-2q^2}\,=\,\dfrac{xp-xq\sqrt{2}+bp\sqrt{2}-2bq}{p^2-2q^2}[/texx]


[texx]=\,\dfrac{xp-2bq}{p^2-2q^2}+\dfrac{bp-xq}{p^2-2q^2}\,\sqrt{2}[/texx]


Luego:  [texx]p^2-2q^2[/texx]  divide á  [texx]xp-2aq[/texx]  -y- á  [texx]xp-2bq[/texx] .  Y por tanto, divide a su diferecia:  [texx]xp-2aq-xp+2bq[/texx] .  Por lo que:  [texx]\dfrac{2q(b-a)}{p^2-2q^2}[/texx] .  Pero  [texx]p^2-2q^2[/texx]  no divide ni á  [texx]2q[/texx]  ;  ni á  [texx]b-a[/texx] ,  porque es un factor de  [texx]a+b[/texx] .  Lo que es una contradicción.


B.

Si:  [texx]\pmb{z^4=x^4+y^4}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos -y-  " [texx]x[/texx] " ,  por ejemplo, par. 

Entonces:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] .  Y dos de sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán: 

[texx]z^2=u^2+v^2[/texx]   

[texx]y^2=u^2-v^2[/texx] 

, para  [texx]u,v[/texx]  enteros y coprimos. 


Luego por A. es falso.


Un saludo,
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
Fernando Moreno
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« Respuesta #1 : 14/02/2020, 04:51:09 »

Hola, ¿podría estar bien la anterior demostración? ¿Puedo dejarla como propuesta?

Gracias de antemano. Un saludo,
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 14/02/2020, 06:50:40 »

Hola

En este anillo, un primo de  " [texx]y[/texx] "  tendrá la forma de  [texx]p+q\sqrt{2}[/texx]  ( [texx]p,q[/texx]  enteros y coprimos)  para poder dividir á  [texx]x+a\sqrt{2}\,,\,x-a\sqrt{2}\,,\,x+b\sqrt{2}\,\,\vee\,\,x-b\sqrt{2}[/texx] .  Y como  [texx]a+b[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a-b[/texx]  son coprimos. Supongamos, sin perder generalidad, que un primo  " [texx]p+q\sqrt{2}[/texx] "  de  " [texx]a+b[/texx] "  divide á  " [texx]x+a\sqrt{2}[/texx] "  -y- á  " [texx]x+b\sqrt{2}[/texx] " .

¿Por qué ese primo factor de [texx]a+b[/texx] tiene que dividir a [texx]x+a\sqrt{2}[/texx] y [texx]x+b\sqrt{2}[/texx] no podría dividir por ejemplo a [texx]x+a\sqrt{2}[/texx] y [texx]x-b\sqrt{2}[/texx]?.

Saludos.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #3 : 14/02/2020, 07:59:30 »

Hola,

¿Por qué ese primo factor de [texx]a+b[/texx] tiene que dividir a [texx]x+a\sqrt{2}[/texx] y [texx]x+b\sqrt{2}[/texx] no podría dividir por ejemplo a [texx]x+a\sqrt{2}[/texx] y [texx]x-b\sqrt{2}[/texx]?.

Umm Pues sí, no he hecho bien mis deberes. Tenía que haber tenido en cuenta esa posibilidad. Pensé que no había escapatoria. ¡Qué lástima! A ver si a la próxima es la definitiva. Me voy acercando. O eso creo

Gracias,
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