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Autor Tema: Polynomials  (Leído 185 veces)
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jacks
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« : 09/02/2020, 08:29:02 »

Finding coefficient of [texx]x^{97}[/texx] in [texx]\displaystyle \bigg(x-\binom{99}{0}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{1}\bigg)\cdots\cdots\bigg(x-\binom{99}{98}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{99}\bigg)[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/02/2020, 06:05:40 »

Hi

Finding coefficient of [texx]x^{97}[/texx] in [texx]\displaystyle \bigg(x-\binom{99}{0}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{1}\bigg)\cdots\cdots\bigg(x-\binom{99}{98}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{99}\bigg)[/texx]

Call [texx]a_k=\displaystyle\binom{n}{k}[/texx].

The coefficiente of degrer [texx]n-2[/texx] of the polynomial of degree [texx]n+1[/texx]:

[texx]p(x)=\displaystyle\prod_{k=0}^n(x-a_k)[/texx]

 is the 3rd elementary symmetric polynomial on [texx]a_0,a_1,\ldots,a_n[/texx]:

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}\displaystyle\sum_{k=j+1}^n{}a_ia_ja_k[/texx]

But:

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}\displaystyle\sum_{k=j+1}^n{}a_ia_ja_k=\dfrac{1}{6}\left((a_0+a_1+\ldots+a_n)^3-3(a_0^2+a_1^2+\ldots+a_n^2)(a_0+a_1+\ldots+a_n)+2(a_0^3+a_1^3+\ldots+a_n^3)\right)[/texx]   (*)

[texx]a_0+a_1+\ldots+a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}=2^n[/texx]
[texx]a_0^2+a_1^2+\ldots+a_n^2=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}^2=\displaystyle\binom{2n}{n}[/texx]

But to my knowledge there is no a closed form for (look here):

[texx]a_0^3+a_1^3+\ldots+a_n^3=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}^3[/texx]

Best regards.

P.S. jack: Where did you find this problem?
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« Respuesta #2 : 12/02/2020, 10:21:14 »

Thanks Admin got.

It was given by my friend

i still have a doubt i have seems he mean Coefficients of [texx]x^{98}[/texx] in given expression
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« Respuesta #3 : 12/02/2020, 13:02:37 »

Hola

i still have a doubt i have seems he mean Coefficients of [texx]x^{98}[/texx] in given expression

¡Ah! This can be done.

Now the coefficiente of degrer [texx]n-1[/texx] of the polynomial of degree [texx]n+1[/texx]:

[texx]p(x)=\displaystyle\prod_{k=0}^n(x-a_k)[/texx]

 is the 2rd elementary symmetric polynomial on [texx]a_0,a_1,\ldots,a_n[/texx]:

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}a_ia_j[/texx]

But:

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}a_ia_j=\dfrac{1}{2}\left((a_0+a_1+\ldots+a_n)^2-(a_0^2+a_1^2+\ldots+a_n^2)\right)[/texx]   

and

[texx]a_0+a_1+\ldots+a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}=2^n[/texx]
[texx]a_0^2+a_1^2+\ldots+a_n^2=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}^2=\displaystyle\binom{2n}{n}[/texx]

Best regards.
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« Respuesta #4 : 14/02/2020, 11:53:47 »

Thanks so much admin got it.
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