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Autor Tema: Algoritmo de Bruno Buchberger  (Leído 232 veces)
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Julio_fmat
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« : 26/01/2020, 00:45:59 »

Escribir el Algoritmo de "Bruno Buchberger" para encontrar una base de Grobner de un ideal [texx]I[/texx] de [texx]\mathbb{C}\left[x_1,...,x_n\right][/texx] y aplicarlo al ideal [texx]I=\left<{x_1x_2-2x_2,2x_2^2-x_1^{2}}\right>\subset \mathbb{C}[x_1,x_2][/texx].

Hola, en Magma se como calcular la base de Groebner del ideal, se hace de esta manera:

>C<x_1,x_2,x_n>:=PolynomialRing(Integers(),3);
>I:=Ideal([x_1*x_2-2*x_2,2*x_2^2-x_1^2]);
>GroebnerBasis(I);

Lo que me da lo siguiente:
[
    x_1^2 - 2*x_2^2,
    x_1*x_2 - 2*x_2,
    2*x_2^3 - 4*x_2
]

Lo que no se hacer es cómo poder calcular dicha base usando el Algoritmo de Bruno?? que es lo que me piden  :¿eh?:
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Julio_fmat
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« Respuesta #1 : 28/01/2020, 00:53:57 »

Mi pregunta es cuántos pasos se deben efectuar para que el algoritmo pare y vuelva a ejecutarse. Me explico, el ejemplo que di con el anillo de polinomios de los enteros esta mal, porque es [texx]\mathbb{C}\left[x_1,...,x_n\right][/texx]. Se tiene...

INPUT Un conjunto de polinomios [texx]F[/texx] que genera a [texx]I[/texx]
OUTPUT Una base de Groebner [texx]G[/texx] para [texx]I[/texx]

1) [texx]G:=F[/texx]

2) Para cada [texx]f_i,f_j[/texx] en [texx]G[/texx], denotamos por [texx]g_i[/texx] el término lider de [texx]f_i[/texx] con respecto al ordenamiento dado, y [texx]a_{ij}[/texx] es el mínimo comun multiplo de [texx]g_i[/texx] y [texx]g_j.[/texx]

3) Elija dos polinomios en [texx]G[/texx] y sea [texx]S_{ij}=\left(\dfrac{a_{ij}}{g_i}\right)f_i-\left(\dfrac{a_{ij}}{g_j}\right)f_j.[/texx]

4) Reduzca [texx]S_{ij}[/texx] con el algoritmo de la division multivariable relativo al conjunto [texx]G[/texx], hasta que el resultado no sea mas reducible. Si el resultado no es cero, agreguelo a [texx]G.[/texx]

5) Repita los pasos 1)-4) hasta que se consideren todos los pares posibles, incluidos los que involucran los nuevos polinomios agregados en el paso 4).

6) Output [texx]G[/texx]


Hola, empece a desarrollar y me queda que [texx]f_1=x_1x_2-2x_2[/texx], [texx]f_2=2x^{2}-x_1^2[/texx]. Ademas, los monomios lider son [texx]g_1=x_1x_2[/texx], [texx]g_2=x_1^2[/texx] y [texx]a_{12}=x_1^2x_2[/texx]. Luego tenemos que

[texx]S_{12}=\left(\dfrac{-x_1^2x_2}{x_1x_2}\right)(x_1x_2-2x_2)-\left(\dfrac{-x_1^2 x_2}{-x_1^2}\right)(2x_2^2-x_1^2)[/texx]

[texx]S_{12}=-x_1(x_1x_2-2x_2)-x_2(2x_2^2-x_1^2)=2x_1x_2-2x_2^3\ne 0[/texx]

Luego, agregamos [texx]G_{12}[/texx] al conjunto G, segun el algoritmo, tenemos que [texx]G=\{f_1,f_2,S_{12}\}[/texx]

Y luego???
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 28/01/2020, 04:16:05 »

Hola

Y luego???

Vuelve a repetir el paso 2 con el nuevo polinomio que has añadido.

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #3 : 28/01/2020, 15:29:31 »

Hola

Y luego???

Vuelve a repetir el paso 2 con el nuevo polinomio que has añadido.

Saludos.

Hola el_manco, lo hice, pero me da otro polinomio y no cero como espero llegar. En efecto...

Sean [texx]f_1=x_1x_2-2x_2[/texx] y [texx]S_{12}=-4x_2^2+x_1^3[/texx].

Se tiene que los terminos lider son [texx]g_1=x_1x_2[/texx] y [texx]g_2=x_1^3[/texx]. Tenemos que el minimo comun multiplo es [texx]a_{12}=x_2x_1^3[/texx]. Por tanto,

[texx]\widetilde{S}_{12}=\left(\dfrac{x_2x_1^3}{x_1x_2}\right)(x_1x_2-2x_2)-\left(\dfrac{x_2x_1^3}{x_1^3}\right)(-4x_2^2+x_1^3)=-2x_2x_1^2+4x_2^2.[/texx]

Pero no me da cero como esperaba... ¿Cual es el error? Gracias.
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