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Autor Tema: Continuidad de la probabilidad  (Leído 94 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Bobby Fischer
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« : 23 Enero, 2020, 16:14 »

Hola,

Supongamos estar en un espacio probabilizable, siendo [texx]X[/texx] una variable aleatoria, [texx]\Omega[/texx] el espacio muestral y [texx]\mathcal{A}[/texx] el [texx]\sigma-[/texx]álgebra de los sucesos.
Me gustaría demostrar que, si se da que para toda sucesión de conjuntos decreciente al vacío, existe una posible función de probabilidad tal que:

[texx]\forall (\{A_n\}\downarrow \emptyset)\quad \displaystyle\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(\lim_{n\to\infty}A_n)=P(\emptyset)=0[/texx]

Entonces dicha función [texx]P[/texx] cumple la propiedad de ser numerablemente aditiva: [texx]\forall \{B_n\}[/texx] con [texx]B_i\cap B_j=\emptyset[/texx] si [texx]i\neq j[/texx], se tiene: [texx]P(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty B_n)=\sum_{n=1}^\infty P(B_n)[/texx]

Ésta última demostración es útil porque cierra un círculo de implicaciones acerca de las propiedades de continuidad de la probabilidad.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 23 Enero, 2020, 17:04 »

Hola

 Indicación: Llama [texx]B=\displaystyle\bigcup B_n[/texx] y considera:

 [texx]A_1=B[/texx]
 [texx]A_2=B-B_1[/texx]
 [texx]A_3=B-(B_1\cup B_2)[/texx]
 [texx]A_4=B-(B_1\cup B_2\cup B_3)[/texx]

 etcétera...

Saludos.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #2 : 23 Enero, 2020, 20:40 »

Hola,

Ya lo tengo:

[texx]B=\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty B_n[/texx]

[texx]({\large \ast})\:  P(B)=P(\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty B_n)[/texx]

[texx]\displaystyle \lim_{n\to\infty}P(A_n)=\lim_{n\to\infty}P(B\setminus \bigcup_{m=1}^n B_m)=P(B)-\lim_{n\to\infty}P(\bigcup_{m=1}^n B_m)=0[/texx]

[texx]({\large \ast\ast})\: P(B)=\displaystyle \lim_{n\to \infty}P(\bigcup_{m=1}^n B_m)\overset{\dagger}{=}\lim_{n\to \infty}\sum_{m=1}^n P(B_m)=\sum_{m=1}^\infty P(B_m)\quad[/texx]  ([texx]\dagger[/texx] Aditividad finita)

Gracias,

Saludos.
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