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Autor Tema: Funcion de distribucion  (Leído 128 veces)
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Julio_fmat
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« : 23 Enero, 2020, 01:14 »

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria con funcion de distribucion

[texx]F(x)=\begin{cases}
{ 0}&\text{ si }& x<0\\
\dfrac{1}{2}x& \text{ si }& 0\le x\le 2\\
1 & \text{ si }& x>2
\end{cases}[/texx]

y sea [texx]Y=X^2.[/texx] Encuentre [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)[/texx].

Resolviendo tenemos que [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)=P\left(X^2+X-\dfrac{3}{4}\le 0\right)=P\left(\left(X-\dfrac{1}{2}\right)\left(X+\dfrac{3}{2}\right)\le 0\right)[/texx]

Y ahora que nos queda?
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« Respuesta #1 : 23 Enero, 2020, 04:23 »

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria con funcion de distribucion

[texx]F(x)=\begin{cases}
{ 0}&\text{ si }& x<0\\
\dfrac{1}{2}x& \text{ si }& 0\le x\le 2\\
1 & \text{ si }& x>2
\end{cases}[/texx]

y sea [texx]Y=X^2.[/texx] Encuentre [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)[/texx].

Resolviendo tenemos que [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)=P\left(X^2+X-\dfrac{3}{4}\le 0\right)=P\left(\left(X-\dfrac{1}{2}\right)\left(X+\dfrac{3}{2}\right)\le 0\right)[/texx]

Y ahora que nos queda?

Tienes que

[texx]\displaystyle{
P(X+Y\leqslant 3/4)=P(\{\omega \in \Omega : x\in \Bbb R\,\land\,X(\omega )=x\,\land\, x^2+x-3/4\leqslant 0\})\\
=P(X^{-1}(\{x\in \Bbb R :x^2+x-3/4\leqslant 0\}))=\mu_X(\{x\in \Bbb R :x^2+x-3/4\leqslant 0\})=\int_{\Bbb R }\mathbf{1}_{A} \,\mathrm d F_X
}[/texx]

donde [texx]A:=\{x\in \Bbb R :x^2+x-3/4\leqslant 0\}[/texx]. En tu caso la función de distribución tiene derivada continua en la región que importa (en [texx]F_X^{-1}((0,1))[/texx]), es decir, tiene función de densidad, por tanto:

[texx]\displaystyle{
\int_{\Bbb R }\mathbf{1}_{A} \,\mathrm d F_X=\int_0^1\mathbf{1}_{A}(x) F'(x)\,\mathrm d x
}[/texx]

Ahora para resolver sólo te queda definir el conjunto de puntos [texx]A[/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 23 Enero, 2020, 04:25 »

Hola

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria con funcion de distribucion

[texx]F(x)=\begin{cases}
{ 0}&\text{ si }& x<0\\
\dfrac{1}{2}x& \text{ si }& 0\le x\le 2\\
1 & \text{ si }& x>2
\end{cases}[/texx]

y sea [texx]Y=X^2.[/texx] Encuentre [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)[/texx].

Resolviendo tenemos que [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)=P\left(X^2+X-\dfrac{3}{4}\le 0\right)=P\left(\left(X-\dfrac{1}{2}\right)\left(X+\dfrac{3}{2}\right)\le 0\right)[/texx]

Pues continuando con lo que haces:

[texx]P\left(\left(X-\dfrac{1}{2}\right)\left(X+\dfrac{3}{2}\right)\le 0\right)=P\left(-\dfrac{3}{2}\leq X\leq \dfrac{1}{2}\right)=F(1/2)-F^-(\color{red}-3/2\color{black})=\ldots[/texx]

Saludos.

CORREGIDO
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Julio_fmat
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« Respuesta #3 : 24 Enero, 2020, 08:23 »

Hola

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria con funcion de distribucion

[texx]F(x)=\begin{cases}
{ 0}&\text{ si }& x<0\\
\dfrac{1}{2}x& \text{ si }& 0\le x\le 2\\
1 & \text{ si }& x>2
\end{cases}[/texx]

y sea [texx]Y=X^2.[/texx] Encuentre [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)[/texx].

Resolviendo tenemos que [texx]P\left(X+Y\le \dfrac{3}{4}\right)=P\left(X^2+X-\dfrac{3}{4}\le 0\right)=P\left(\left(X-\dfrac{1}{2}\right)\left(X+\dfrac{3}{2}\right)\le 0\right)[/texx]

Pues continuando con lo que haces:

[texx]P\left(\left(X-\dfrac{1}{2}\right)\left(X+\dfrac{3}{2}\right)\le 0\right)=P\left(-\dfrac{3}{2}\leq X\leq \dfrac{1}{2}\right)=F(1/2)-F^-(3/2)=\ldots[/texx]

Saludos.

Muchas Gracias a los dos, pero tengo una duda. En la ultima igualdad, no sera [texx]F\left(-\dfrac{3}{2}\right)[/texx]?
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« Respuesta #4 : 24 Enero, 2020, 12:18 »

Hola

Muchas Gracias a los dos, pero tengo una duda. En la ultima igualdad, no sera [texx]F\left(-\dfrac{3}{2}\right)[/texx]?

Si; en realidad:

[texx]F^-\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\displaystyle\lim_{x \to-(3/2)^-}{}F(x)[/texx] (límite por la izquierda)

Lo que pasa es que en este caso como la función es continua en el punto [texx]-(3/2)[/texx] tal límite coincide con el valor de la función.

Saludos.
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