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Autor Tema: Igualdad de conjuntos  (Leído 94 veces)
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Julio_fmat
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« : 20 Enero, 2020, 23:35 »

Sea [texx]A_1,A_2,...[/texx] una secuencia de eventos. Defina [texx]B_n=\displaystyle\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m[/texx] y [texx]C_n=\displaystyle\bigcap_{n=m}^{\infty}A_m[/texx]. Las secuencias [texx]\left\{B_n\right\}[/texx] y [texx]\left\{C_n\right\}[/texx] son decrecientes y crecientes respectivamente, con limites [texx]\lim B_n=B=\displaystyle\bigcap_n B_n=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx], [texx]\lim C_n=C=\displaystyle\bigcup_n C_n=\displaystyle\bigcup_n \displaystyle\bigcap_{n=m}^{\infty}A_m[/texx]. Muestre que [texx]B=\left\{\omega\in \Omega: \omega\in A_n \text{ para infinitos valores de } n \right\}[/texx] y [texx]C=\{\omega\in \Omega: \omega\in A_n \text{ para todo } n \text{ excepto un numero finito} \}[/texx].

Hola, para demostrarlo podemos usar doble inclusion de conjuntos, o tomar un elemento y ver que esta en el otro. No se cual metodo es mas facil...Gracias.
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 21 Enero, 2020, 04:36 »

Hola

Sea [texx]A_1,A_2,...[/texx] una secuencia de eventos. Defina [texx]B_n=\displaystyle\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m[/texx] y [texx]C_n=\displaystyle\bigcap_{n=m}^{\infty}A_m[/texx]. Las secuencias [texx]\left\{B_n\right\}[/texx] y [texx]\left\{C_n\right\}[/texx] son decrecientes y crecientes respectivamente, con limites [texx]\lim B_n=B=\displaystyle\bigcap_n B_n=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx], [texx]\lim C_n=C=\displaystyle\bigcup_n C_n=\displaystyle\bigcup_n \displaystyle\bigcap_{n=m}^{\infty}A_m[/texx]. Muestre que [texx]B=\left\{\omega\in \Omega: \omega\in A_n \text{ para infinitos valores de } n \right\}[/texx] y [texx]C=\{\omega\in \Omega: \omega\in A_n \text{ para todo } n \text{ excepto un numero finito} \}[/texx].

Hola, para demostrarlo podemos usar doble inclusion de conjuntos, o tomar un elemento y ver que esta en el otro. No se cual metodo es mas facil...Gracias.

No veo mucha diferencia entre uno u otro método porque la doble inclusión de conjuntos consiste precisamente en tomar elementos de uno de ellos y ver que está en el otro.

Además en vez de preguntarte cuál es más fácil y quedarte "quieto", ¿por qué no intentas algo directamente?.

Por ejemplo para [texx]B[/texx]:

- Si [texx]x\in B=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx] por definición de intersección, para todo [texx]n[/texx] se tiene que [texx]x\in \displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx] y por tanto existe [texx]m\geq n[/texx] tal que [texx]x\in A_m[/texx]. Por tanto [texx]x[/texx] pertence a un número infinito de conjuntos [texx]A_m[/texx].

- Recíprocamente si [texx]x[/texx] está en un número infinito de conjuntos [texx]A_n[/texx], para cualquier [texx]n[/texx] existe un [texx]m\leq n[/texx] tal que [texx]x\in A_m[/texx] y por tanto [texx]x\in \displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx] para cualquier [texx]n[/texx]; y asi [texx]x\in B=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx]

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 23 Enero, 2020, 00:28 »

Hola

Sea [texx]A_1,A_2,...[/texx] una secuencia de eventos. Defina [texx]B_n=\displaystyle\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m[/texx] y [texx]C_n=\displaystyle\bigcap_{n=m}^{\infty}A_m[/texx]. Las secuencias [texx]\left\{B_n\right\}[/texx] y [texx]\left\{C_n\right\}[/texx] son decrecientes y crecientes respectivamente, con limites [texx]\lim B_n=B=\displaystyle\bigcap_n B_n=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx], [texx]\lim C_n=C=\displaystyle\bigcup_n C_n=\displaystyle\bigcup_n \displaystyle\bigcap_{n=m}^{\infty}A_m[/texx]. Muestre que [texx]B=\left\{\omega\in \Omega: \omega\in A_n \text{ para infinitos valores de } n \right\}[/texx] y [texx]C=\{\omega\in \Omega: \omega\in A_n \text{ para todo } n \text{ excepto un numero finito} \}[/texx].

Hola, para demostrarlo podemos usar doble inclusion de conjuntos, o tomar un elemento y ver que esta en el otro. No se cual metodo es mas facil...Gracias.

No veo mucha diferencia entre uno u otro método porque la doble inclusión de conjuntos consiste precisamente en tomar elementos de uno de ellos y ver que está en el otro.

Además en vez de preguntarte cuál es más fácil y quedarte "quieto", ¿por qué no intentas algo directamente?.

Por ejemplo para [texx]B[/texx]:

- Si [texx]x\in B=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx] por definición de intersección, para todo [texx]n[/texx] se tiene que [texx]x\in \displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx] y por tanto existe [texx]m\geq n[/texx] tal que [texx]x\in A_m[/texx]. Por tanto [texx]x[/texx] pertence a un número infinito de conjuntos [texx]A_m[/texx].

- Recíprocamente si [texx]x[/texx] está en un número infinito de conjuntos [texx]A_n[/texx], para cualquier [texx]n[/texx] existe un [texx]m\leq n[/texx] tal que [texx]x\in A_m[/texx] y por tanto [texx]x\in \displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx] para cualquier [texx]n[/texx]; y asi [texx]x\in B=\displaystyle\bigcap_n\displaystyle\bigcup_{n=m}^{\infty} A_m[/texx]

Saludos.

Muchas Gracias, me ha quedado claro. Saludos.
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