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Autor Tema: Valores y vectores propios en un espacio infinito dimensional  (Leído 169 veces)
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rotse
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« : 14/01/2020, 18:01:59 pm »

Hola  a todos, estoy preparando un exposición sobre vectores y valores propios pero me encuentro de que solo hablan de espacios de dimensión finita y solo hablan de aplicaciones lineales de un espacio vectorial V en si mismo, entonces tengo estas preguntas.

1. ¿Se pueden definir los conceptos de valor y vector propio de transformaciones lineales para espacios de dimensión infinita? si saben el nombre de estos conceptos se los agradecería.
2. ¿Se puede hablar de valores y vectores propios en una transformación de dos espacios distintos V y W de dimensión finita no necesariamente iguales?
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« Respuesta #1 : 14/01/2020, 18:53:24 pm »

Hola  a todos, estoy preparando un exposición sobre vectores y valores propios pero me encuentro de que solo hablan de espacios de dimensión finita y solo hablan de aplicaciones lineales de un espacio vectorial V en si mismo, entonces tengo estas preguntas.

1. ¿Se pueden definir los conceptos de valor y vector propio de transformaciones lineales para espacios de dimensión infinita? si saben el nombre de estos conceptos se los agradecería.
2. ¿Se puede hablar de valores y vectores propios en una transformación de dos espacios distintos V y W de dimensión finita no necesariamente iguales?

1. Sí, y tienen el mismo nombre y definición. pero la definición de valor propio "difiere" un poco aunque es equivalente a la que se da en espacios de dimensión finita.
2. No, ya que para todo [texx]v\in V[/texx] se cumple que [texx]Tv\notin V[/texx] para una transformación lineal [texx]T:V\to W[/texx] si [texx]V[/texx] y [texx]W[/texx] son espacios distintos.
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« Respuesta #2 : 14/01/2020, 23:50:56 pm »

Gracias por la respuesta, no he hallado literatura que hable de vectores y valores propios para una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita, a no ser el concepto de espectro de un operador lineal. ¿Usted me puede decir el nombre de algún libro o link donde pueda hallar dicha información? Gracias.
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« Respuesta #3 : 15/01/2020, 00:09:41 am »

Gracias por la respuesta, no he hallado literatura que hable de vectores y valores propios para una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita, a no ser el concepto de espectro de un operador lineal. ¿Usted me puede decir el nombre de algún libro o link donde pueda hallar dicha información? Gracias.

Mira por ejemplo en este libro a partir de la página 294:

http://measure.axler.net/
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Fernando Revilla
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« Respuesta #4 : 15/01/2020, 08:25:49 am »

Gracias por la respuesta, no he hallado literatura que hable de vectores y valores propios para una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita, a no ser el concepto de espectro de un operador lineal. ¿Usted me puede decir el nombre de algún libro o link donde pueda hallar dicha información? Gracias.

Veamos, no existe la más mínima diferencia. Se definen los conceptos de valor y vector propio de un endomorfismo sobre un espacio vectorial [texx]E[/texx] independientemente de la dimensión de [texx]E[/texx]. Mira en http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/07/concepto-de-valor-y-vector-propio/ (resumen teórico). En el apartado 1 aparece un ejemplo en un espacio de dimensión finita y en el 2, en uno de dimensión infinita. En ambos se aplica la misma definición.
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« Respuesta #5 : 15/01/2020, 10:31:20 am »

Gracias por sus respuestas. El escollo esta ahora cuando trabajo con la matriz asociada a la transformación. ¿Esta matriz es posible solo hallarla para endomorfismos de V, con V de dimensión finita?. Este hilo lo publiqué aparte, pero la verdad si quiero saber esto urgente, gracias.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #6 : 15/01/2020, 21:15:02 pm »

El escollo esta ahora cuando trabajo con la matriz asociada a la transformación. ¿Esta matriz es posible solo hallarla para endomorfismos de V, con V de dimensión finita?.

Exacto, sólo es posible cuando la dimensión es finita.
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« Respuesta #7 : 15/01/2020, 21:20:50 pm »

Hola a todos

Las preguntas son muy interesantes.

El escollo esta ahora cuando trabajo con la matriz asociada a la transformación. ¿Esta matriz es posible solo hallarla para endomorfismos de V, con V de dimensión finita?.

Exacto, sólo es posible cuando la dimensión es finita.

¿Cómo se demostraría eso, Fernando?

¿Por contradicción, suponiendo que la matriz asociada es infinita se llega a una contradicción, pero cómo?

Gracias y saludos
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Fernando Revilla
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« Respuesta #8 : 16/01/2020, 17:12:54 pm »

¿Cómo se demostraría eso, Fernando? ¿Por contradicción, suponiendo que la matriz asociada es infinita se llega a una contradicción, pero cómo?

No es exáctamente que se demuestre, está en la esncia de las cosas. Sobre un espacio vectorial [texx]E[/texx] de dimensión finita cada endomorfismo se puede representar por una matriz. Esto no funciona para espacios de dimensión infinita. Aunque podríamos considerar matrices de orden infinito, (pogamos por ejemplo [texx]\dim E[/texx] numerable) para la aplicabilidad de los cálculos a traves de una matriz infinita, tendríamos que trabajar con cuerpos donde se pudiera definir la convergencia de sumas infinitas. No es operativo.
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manooooh
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« Respuesta #9 : 16/01/2020, 17:31:56 pm »

¡Gracias!

Saludos
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