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Autor Tema: Maximizar un funcional  (Leído 113 veces)
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micabua
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« : 14/01/2020, 09:37:40 am »

Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea [texx]\mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\}[/texx]. Maximizar el funcional

[texx]J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt[/texx]

sujeto a [texx]\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2[/texx] en  [texx]\mathcal{M}[/texx].

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud [texx]l[/texx] i son nulas en los puntos [texx]-1[/texx] y [texx]1[/texx].

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si [texx]l\leq  \pi[/texx]. Es decir, el Teorema no da solución cuando [texx]l>\pi[/texx].

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional [texx]J[/texx] cuando [texx]l=4[/texx], por ejemplo?

Un saludo y gracias
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« Respuesta #1 : 14/01/2020, 12:03:25 pm »

Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea [texx]\mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\}[/texx]. Maximizar el funcional

[texx]J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt[/texx]

sujeto a [texx]\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2[/texx] en  [texx]\mathcal{M}[/texx].

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud [texx]l[/texx] i son nulas en los puntos [texx]-1[/texx] y [texx]1[/texx].

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si [texx]l\leq  \pi[/texx]. Es decir, el Teorema no da solución cuando [texx]l>\pi[/texx].

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional [texx]J[/texx] cuando [texx]l=4[/texx], por ejemplo?

Un saludo y gracias

¿El área no tiende a infinito para una curva suficientemente larga? Por otra parte la condición [texx]l>2[/texx] lo único que nos dice es que [texx]y[/texx] no puede ser una recta.

EDICIÓN: ok, ya entiendo, se supone que la condición es un [texx]l>2[/texx] dado fijo, entonces el ejercicio tiene sentido. Luego edito si encuentro la manera de resolverlo.

ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html
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micabua
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« Respuesta #2 : 14/01/2020, 17:11:55 pm »



ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html

Efectivamente, es lo que uso yo para obtener esas circunferencias que te digo, pero solo me sirven si la longitud es menor que [texx]\pi[/texx].
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micabua
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« Respuesta #3 : 16/01/2020, 13:06:55 pm »

He encontrado una solución. Parece ser que no hay máximos para  [texx]l>\pi[/texx].

Dejo el link: https://math.stackexchange.com/questions/2229845/what-is-the-solution-to-the-dido-isoperimetric-problem-when-the-length-is-longer
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