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Autor Tema: Sucesión en un espacio pseudométrico  (Leído 74 veces)
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Bobby Fischer
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« : 14/01/2020, 05:06:47 am »

Hola,

Se considera el subconjunto del plano [texx]X=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y\geq 0\}[/texx] junto con la aplicación [texx]d:X\times X\to \mathbb{R}[/texx] dada por [texx]d((x,y),(x',y'))=|xy-x'y'|[/texx]
Estudiar la convergencia de la sucesión [texx]y_n=(\frac{1}{n},0)[/texx], [texx]n\geq 1[/texx], en [texx](X,d)[/texx].


He pensado suponer que si la sucesión es convergente y lo hace a [texx](x^*,y^*)[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{n} |x^*y^*-0|=0[/texx], por lo que [texx]x^*y^*=0[/texx]
Pero no veo claro el razonamiento a seguir.

Saludos.
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« Respuesta #1 : 14/01/2020, 15:23:01 pm »

Hola,

Se considera el subconjunto del plano [texx]X=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y\geq 0\}[/texx] junto con la aplicación [texx]d:X\times X\to \mathbb{R}[/texx] dada por [texx]d((x,y),(x',y'))=|xy-x'y'|[/texx]
Estudiar la convergencia de la sucesión [texx]y_n=(\frac{1}{n},0)[/texx], [texx]n\geq 1[/texx], en [texx](X,d)[/texx].


He pensado suponer que si la sucesión es convergente y lo hace a [texx](x^*,y^*)[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{n} |x^*y^*-0|=0[/texx], por lo que [texx]x^*y^*=0[/texx]
Pero no veo claro el razonamiento a seguir.

Saludos.

Me parece que está correcto tu planteamiento. En un espacio con pseudométrica una sucesión puede converger a muchos puntos diferentes, ya que los puntos en tales espacios ya no son, en general, distinguibles.

Entonces tienes que la sucesión [texx](y_n)[/texx] converge a cada punto de la forma [texx](x,0)[/texx] ó [texx](0,y)[/texx] para cualesquiera [texx]x,y\in \Bbb R [/texx].
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Bobby Fischer
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« Respuesta #2 : 14/01/2020, 16:43:15 pm »

Gracias Masacroso,

Saludos.
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