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Autor Tema: Medida de probabilidad  (Leído 74 veces)
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Julio_fmat
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« : 13/01/2020, 04:11:28 am »

Considere el espacio medible [texx]((0,1), \mathcal{B}(0,1)).[/texx] Demuestre que [texx]P[/texx] es una medida de probabilidad. Para cada [texx]A\in B(0,1)[/texx] defina:

a) [texx]P(A)=\displaystyle\int_A 2x dx[/texx].
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Julio_fmat
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« Respuesta #1 : 14/01/2020, 00:03:13 am »

Hola, hice este desarrollo, no se si está bien. Tenemos que

1) [texx]P((0,1))=\displaystyle\int_0^1 2xdx=2\cdot \dfrac{1}{2}x^2|_0^1=1-0=1[/texx]

2) [texx]P(A)=\displaystyle\int_A f(x)dx=\displaystyle\int_0^1 2xdx\ge 0[/texx]

3) [texx]P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\displaystyle\int_{\cup_{n=1}^{\infty}A_n}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\displaystyle\int_{A_i}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)[/texx]

Así, por 1), 2) y 3), [texx]P[/texx] es una medida de probabilidad.
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« Respuesta #2 : 14/01/2020, 00:22:53 am »

Hola, hice este desarrollo, no se si está bien. Tenemos que

1) [texx]P((0,1))=\displaystyle\int_0^1 2xdx=2\cdot \dfrac{1}{2}x^2|_0^1=1-0=1[/texx]

2) [texx]P(A)=\displaystyle\int_A f(x)dx=\displaystyle\int_0^1 2xdx\ge 0[/texx]

3) [texx]P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\displaystyle\int_{\cup_{n=1}^{\infty}A_n}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\displaystyle\int_{A_i}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)[/texx]

Así, por 1), 2) y 3), [texx]P[/texx] es una medida de probabilidad.

El punto 1) está bien. El 3) está bien siempre y cuando sea una unión disjunta. Y el 2) tal y como lo has escrito no tiene sentido si [texx]A[/texx] es cualquier conjunto medible de [texx](0,1)[/texx], lo que quieres demostrar es que

[texx]\displaystyle{
0\leqslant \int_{A}f(x)\,\mathrm d x\leqslant \int_{(0,1)}f(x)\,\mathrm d x
}[/texx]

lo cual se sigue del hecho de que

[texx]\displaystyle{
\int_{A}f(x)\,\mathrm d x=\int_{(0,1)}\mathbf{1}_{A}(x)f(x)\,\mathrm d x
}[/texx]

y de que en tu caso [texx]0\leqslant \mathbf{1}_{A}(x)f(x)\leqslant f(x)[/texx] para todo [texx]x\in (0,1)[/texx] (ya que [texx]f(x)=2x[/texx]), y de la propiedad de la integral de Lebesgue

[texx]\displaystyle{
f\leqslant g \text{ casi en todas partes }\implies \int f\leqslant \int g
}[/texx]
para funciones integrables cualesquiera [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx].
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