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Autor Tema: Duda en el desarrollo de Laurent de la siguiente función  (Leído 66 veces)
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« : 12/01/2020, 16:48:54 pm »

Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio y no se ni por donde empezar...

Obtén el desarrollo de Laurent de la función:

f(z)=[texx]\displaystyle\frac{z^2}{cos(2piz^2)-1}[/texx]

Se me ocurre que tengo que hacer algún cambio de variable para tener (z+i), pero nada más...

Por favor, ayuda! Gracias de antemano.

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« Respuesta #1 : 13/01/2020, 10:36:54 am »

Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio y no se ni por donde empezar...

Obtén el desarrollo de Laurent de la función:

f(z)=[texx]\displaystyle\frac{z^2}{cos(2\pi z^2)-1}[/texx]

Se me ocurre que tengo que hacer algún cambio de variable para tener (z+i), pero nada más...

Por favor, ayuda! Gracias de antemano.



El desarrollo de Laurent no tiene radio de convergencia infinito ya que la función no es holomorfa ya que para [texx]z\in \Bbb Z[/texx] la función no está definida, por tanto el desarrollo de Laurent depende de la región que se considere. Si es en el ánulo comprendido entre los polos [texx]z=0[/texx] y [texx]z=1[/texx] entonces los coeficientes vienen dados por

[texx]\displaystyle{
c_n:=\frac1{2\pi i}\int_{r\partial \Bbb D } \frac{f(z)}{z^{n+1}}\,\mathrm d z
}[/texx]

donde [texx]\partial \Bbb D :=\{z\in \Bbb C : |z|=r\}[/texx], para un [texx]r\in(0,1)[/texx]. Lo único que se me ocurre para resolver la integral es hallar la serie de Laurent en el ánulo alrededor del cero de la función [texx]z\mapsto \cos(2\pi z^2)-1[/texx] primero, es decir, hallar los coeficientes [texx]a_n[/texx] tales que

[texx]\displaystyle{
(\cos(2\pi z^2)-1)\left(\sum_{n\in \Bbb Z  }a_n z^n\right)=1
}[/texx]

De ahí, expandiendo la expresión del coseno y dando valores a [texx]n[/texx], obtenemos una recurrencia para los valores de [texx]a_n[/texx]. Es un proceso tedioso y no asegura encontrar una expresión simple de los coeficientes que pueda definirse para todo [texx]n[/texx]. Quizá haya una manera más simple de abordar el problema pero a mí no se me ocurre.
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