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Autor Tema: Teorema Trabajo-Energía cinética. Trayectorias curvilíneas  (Leído 139 veces)
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Marcos Castillo
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« : 11/01/2020, 23:49:50 pm »

¡Hola!
La ecuación [texx]\displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}_{neta}\cdot{d\vec{l}}=k_2-k_1[/texx] se obtiene directamente de la segunda ley de Newton del movimiento. Pero, ¿cómo?
¡Un saludo!
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No man is an island (John Donne)
delmar
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« Respuesta #1 : 12/01/2020, 00:50:26 am »

Hola

El integral que se ha puesto, es un integral de línea, en donde la fuerza [texx]\vec{F}[/texx] es un campo vectorial definido y acotado en la gráfica (imagen) de un camino regular [texx]\vec{l}[/texx], este es el vector posición de una partícula respecto al tiempo t, eso es lo usual y se interpreta :

[texx]\displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}d\vec{l}=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\cdot{\vec{l}'} \ dt[/texx]

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene :


[texx]\displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}d\vec{l}=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\cdot{\vec{l}'} \ dt=m\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{l}''  \cdot{\vec{l}'} \ dt[/texx]

Considerando que [texx]\vec{l}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}[/texx]

Se puede la derivada primera y segunda de [texx]\vec{l}(t)[/texx]y hacer el producto interno, e integrar por sustitución y se llega al resultado esperado.

Saludos
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Marcos Castillo
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« Respuesta #2 : 12/01/2020, 07:30:23 am »

[texx]\dfrac{dW_{neta}}{dt}=\vec{F}\cdot{\vec{v}}=m\vec{a}\cdot{\vec{v}}=m\vec{v}\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{1}{2}m\dfrac{d\vec{v^2}}{dt}=\dfrac{dE_c}{dt}[/texx].
¿Correcto?.
Un saludo
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No man is an island (John Donne)
Abdulai
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« Respuesta #3 : 12/01/2020, 11:55:11 am »

[texx]\dfrac{dW_{neta}}{dt}=\vec{F}\cdot{\vec{v}}=m\vec{a}\cdot{\vec{v}}=m\vec{v}\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{1}{2}m\dfrac{d\vec{v^2}}{dt}=\dfrac{dE_c}{dt}[/texx].
¿Correcto?.

Si.  Nada mas un detalle en la notación:

Es [texx]\vec{v}\cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt}[/texx] , un producto escalar.

Y  el término [texx]\dfrac{d\vec{v^2}}{dt}[/texx]  es un escalar, debe escribirse  [texx]\dfrac{d(\vec v\cdot\vec v)}{dt}[/texx]  o [texx]\dfrac{d\;v^2}{dt}[/texx]   entendiendo por [texx]v[/texx] el módulo de la velocidad.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #4 : 13/01/2020, 04:02:12 am »

¡Muchas gracias Abdulai!
Un saludo. He estado rumiando tu mensaje.
¡Gracias!
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No man is an island (John Donne)
delmar
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« Respuesta #5 : 13/01/2020, 16:38:19 pm »

Otra forma, considerando que el trabajo de un campo de fuerzas a lo largo de una línea, es un integral de línea, como expuse en mi aporte anterior.

[texx]\displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot{d\vec{l}}=m \ \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{l}'' \ \cdot{\vec{l}'} \ dt[/texx] Ec. A

[texx]\vec{l}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}[/texx]

[texx]\vec{l}'=x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}[/texx]

[texx]\vec{l}''=x''\vec{i}+y''\vec{j}+z''\vec{k}[/texx]

Sustituyendo en la Ec. A queda :

[texx]\displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot{d\vec{l}}=m\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(x''\vec{i}+y''\vec{j}+z''\vec{k})\cdot{(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k})} dt=m \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(x' \ x''+y' \ y''+ z' \ z'')dt[/texx] Ec. B
Pero, haciendo el cambio de variable [texx]u=x'[/texx] :

[texx]\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}x' \ x'' dt=\displaystyle\int_{x'(t_2)}^{x'(t_1)}u \ du=\displaystyle\frac{u^2}{2}│_{x'(t_1)}^{x'(t_2)}=\displaystyle\frac{x'(t_2)^2}{2}-\displaystyle\frac{x'(t_1)^2}{2}=\displaystyle\frac{vx_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vx_1^2}{2}[/texx]

Lo mismo ocurre con [texx]y',z'[/texx] y en consecuencia la Ec. B queda :

[texx]\displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot{d\vec{l}}=m(\displaystyle\frac{vx_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vx_1^2}{2})+m(\displaystyle\frac{vy_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vy_1^2}{2})+m(\displaystyle\frac{vz_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vz_1^2}{2})=m(\displaystyle\frac{vx_2^2+vy_2^2+vz_2^2}{2})-m(\displaystyle\frac{vx_1^2+vy_1^2+vz_1^2}{2})=K_2-K_1[/texx]

Saludos
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Marcos Castillo
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« Respuesta #6 : 13/01/2020, 17:16:58 pm »

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« Respuesta #7 : 13/01/2020, 17:17:49 pm »

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