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Autor Tema: Composición de funciones de distribución  (Leído 127 veces)
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Bobby Fischer
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« : 08 Enero, 2020, 18:32 »

Hola,

Sean [texx]F_1[/texx] y [texx]F_2[/texx] dos funciones de distribución. Justificar en cada caso si también son funciones de distribución:

a) [texx]F(x)=\min\{\alpha F_1(x),(1-\alpha)F_2(x)\}[/texx] con [texx]\alpha \in \mathbb{R}[/texx]

b) [texx]F(x)=\left[F_1(x)\right]^{\alpha}\left[F_2(x)\right]^{1-\alpha}[/texx] con [texx]\alpha \in \mathbb{R}[/texx]


Si no cumple una condición necesaria, entonces no es función de distribución.

En el caso de [texx]F(x)=\min\{\alpha F_1(x),(1-\alpha)F_2(x)\}[/texx], pueden ocurrir dos cosas en [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}[/texx]. Que sea igual a [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\alpha F_1(x)}=\alpha[/texx], que debe valer 1. O que sea igual a [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1-\alpha)F_2(x)}[/texx], en cuyo caso [texx]\alpha=0[/texx]. En cualquier otro caso, necesariamente no puede ser función de distribución.

Para el caso de [texx]F(x)=\left[F_1(x)\right]^{\alpha}\left[F_2(x)\right]^{1-\alpha}[/texx], cumple las condiciones necesarias [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=1[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{F(x)}=0[/texx]. También cumple el requisito de ser continua por la derecha por ser el producto de una composición de funciones continuas por la derecha.

He intentado ver con la distribución discreta degenerada, la continua uniforme y la exponencial negativa, pero no sabría decir.

Saludos.
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« Respuesta #1 : 09 Enero, 2020, 04:09 »

También deben cumplir el requisito de ser crecientes. Eso implica una limitación a los valores que puede tomar [texx]\alpha [/texx].
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Bobby Fischer
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« Respuesta #2 : 09 Enero, 2020, 13:23 »

También deben cumplir el requisito de ser crecientes. Eso implica una limitación a los valores que puede tomar [texx]\alpha [/texx].

Sí, creo que considerando [texx]F_1(x)=\begin{cases}{ 0}&\text{si}& x<a_1\\\dfrac{x-a_1}{b_1-a_1} & \text{si}& a_1\leq x<b_1\\1 & \text{si}& b_1\leq x\end{cases}[/texx]            [texx]F_2(x)=\begin{cases}{ 0}&\text{si}& x<a_2\\\dfrac{x-a_2}{b_2-a_2} & \text{si}& a_2\leq x<b_2\\1 & \text{si}& b_2\leq x\end{cases}[/texx]

y teniendo en cuenta un [texx]b_2[/texx] tal que [texx]b_2<a_1[/texx] y un x comprendido entre [texx]a_1[/texx] y [texx]b_1[/texx], se tiene que [texx]F(x)[/texx] para esos "x" es [texx]\left (\dfrac{x-a_1}{b_1-a_1}\right )^{\alpha}[/texx] y para que sea creciente no vale cualquier [texx]\alpha[/texx], pues para [texx]\alpha<0[/texx] no lo cumple.

Gracias.
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