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Autor Tema: Un polinomio mínimo a partir de una raíz conocida  (Leído 167 veces)
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Fernando Moreno
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« : 08/01/2020, 09:45:04 am »

Hola, Feliz nuevo año

Mirando por internet me encuentro con esto (traducido): Tengo esta raíz:  [texx]\alpha=\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3}[/texx] .  Luego:  [texx](\alpha-\sqrt{3})^2- 2=0[/texx] .

"Por consiguiete"  " [texx]\alpha[/texx] "  es la raíz de este polinomio:  [texx]P(x) = x^2 - 2 \sqrt{3}x +1[/texx] .

¿Cómo lo hace? ¿Por qué es evidente?

Gracias de antemano
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
sugata
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« Respuesta #1 : 08/01/2020, 10:06:22 am »

[texx](\alpha-\sqrt[ ]{3})^2-2=\alpha^2-2\sqrt[ ]{3}\alpha+3-2[/texx]
Editado que me faltaba un alfa.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #2 : 08/01/2020, 10:42:34 am »

[texx](\alpha-\sqrt[ ]{3})^2-2=\alpha^2-2\sqrt[ ]{3}\alpha+3-2[/texx]
Editado que me faltaba un alfa.

Jaja sugata ¿cómo no lo he visto? !! Y yo pensando que era por profundos temas de conocimiento de polinomios.. Qué fuerte. Vaya cómo empiezo el año

Muchas gracias
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
feriva
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« Respuesta #3 : 09/01/2020, 01:48:35 am »


Hola, Fernando, Feliz Año.

Hola, Feliz nuevo año

Mirando por internet me encuentro con esto (traducido): Tengo esta raíz:  [texx]\alpha=\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3}[/texx] .  Luego:  [texx](\alpha-\sqrt{3})^2- 2=0[/texx] .

"Por consiguiete"  " [texx]\alpha[/texx] "  es la raíz de este polinomio:  [texx]P(x) = x^2 - 2 \sqrt{3}x +1[/texx] .

¿Cómo lo hace? ¿Por qué es evidente?

Gracias de antemano

No es tanto como “evidente”, pero sí es fácil.

También podría haber despejado la raíz de 2 en vez de la de 3:

[texx]\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}
 [/texx]

restando [texx]\sqrt{2}
 [/texx] a ambos lados

[texx]\alpha-\sqrt{2}=\sqrt{3}
 [/texx]

elevando al cuadrado a los dos lados

[texx](\alpha-\sqrt{2})^{2}=3
 [/texx]

[texx](\alpha-\sqrt{2})^{2}-3=0
 [/texx]

Y ahora, si alfa es un raíz de P(x), entonces [texx](x-\alpha)=0\Rightarrow x=\alpha
 [/texx].

Sustituyendo

[texx](x-\sqrt{2})^{2}-3=0
 [/texx]

desarrollando el cuadrado

[texx]x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x+2-3=0
 [/texx]

[texx]x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x-1=0
 [/texx]

...

Si ahora igualas lo que te dan ahí a partir de hacer el despeje de la otra forma, tienes

[texx]x^{2}-2\sqrt{3}\cdot x+1=x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x-1
 [/texx]

cancelando x y restando 1 a los lados

[texx]-2\sqrt{3}\cdot x=-2\sqrt{2}\cdot x-2
 [/texx]

Sacando factor común -2 en la derecha

[texx]-2\sqrt{3}\cdot x=-2(\sqrt{2}\cdot x+1)
 [/texx]

cancelando el -2

[texx]\sqrt{3}\cdot x=\sqrt{2}\cdot x+1
 [/texx]

despejando “x” y sacando factor común “x”

[texx]x(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1
 [/texx]

y, ahora, como tienes que [texx]x=\sqrt{3}+\sqrt{2}
 [/texx]

sustituyendo

[texx](\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1
 [/texx].

Y es lo mismo.

Saludos.
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