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Autor Tema: Determinar cónicas del plano proyectivo que cumplen unas ciertas condiciones  (Leído 149 veces)
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Bobby Fischer
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« : 05/01/2020, 11:14:30 »

Hola,

Ejercicio 15.- Determinar las cónicas que tienen contacto de segundo orden (osculatrices) con la cónica de ecuación [texx]x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=0[/texx] en el punto [texx](0:1:0)[/texx] y que pasa por los puntos [texx](3:6:-2), (1:0:1)[/texx].

Mi método ha consistido en escribir la forma cuadrática asociada a la cónica en forma genérica: [texx]A=\begin{bmatrix}{a_{00}}&{a_{01}}&{a_{02}}\\{a_{01}}&{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{02}}&{a_{12}}&{a_{22}}\end{bmatrix}[/texx] e ir imponiendo condiciones.

Pasa por [texx](0:1:0)[/texx]: la condición es [texx]\left[\begin{array}{ccc}{0}&{1}&{0}\end{array}\right]A\left[\begin{array}{ccc}{0}&{1}&{0}\end{array}\right]^t=0[/texx], para que el punto pertenezca al lugar.

Pasa por [texx](3:6:-2)[/texx]: la condición es [texx]\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{-2}\end{array}\right]A\left[\begin{array}{ccc}{3}&{6}&{-2}\end{array}\right]^t=0[/texx], para que el punto pertenezca al lugar.

Pasa por [texx](1:0:1)[/texx]: la condición es [texx]\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{1}\end{array}\right]A\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{1}\end{array}\right]^t=0[/texx], para que el punto pertenezca al lugar.

La condición de tangencia sería [texx]polar_Q(P)=polar_{Q'}(P)[/texx], es decir, que la variedad lineal proyectiva tangente a la cuádrica proporcionada por el enunciado sea igual a la variedad lineal proyectiva tangente a la cuádrica que buscamos.

Sería feliz si esta forma de proceder fuera correcta, pero no lo es. Resulta que tengo que acordarme de que "es un haz de tipo IV". No me puedo creer que esa sea la única forma de hacer esto bien.

Saludos.

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geómetracat
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« Respuesta #1 : 05/01/2020, 17:13:04 »

Se puede hacer como lo estás intentando. Solamente hay un problema con lo que haces: tú impones que las cónicas sean tangentes, pero lo que te dan en el enunciado es más fuerte, no solamente son tangentes sino que además tienen contacto de orden [texx]2[/texx].

Tal como lo haces la cónica no te queda determinada, porque hay infinitas cónicas que pasan por los dos puntos especificados y son tangentes a la cónica que te dan en el punto dado. Pero si impones que la multiplicidad de intersección de ambas cónicas en el punto que te dan sea [texx]3[/texx] (es decir, contacto de orden [texx]2[/texx]) entonces te saldrá lo que toca.

Dicho esto, seguro que es más rápido usar haces de cónicas que imponer las condiciones a mano (aunque si yo lo tuviera que hacer lo haría imponiendo condiciones, más que nada porque no sé qué es un haz de tipo IV).

Por cierto, no sé si el enunciado que has escrito se corresponde con la imagen, pero en un enunciado dice que pasa por [texx](1:0:1)[/texx] y en el otro por [texx](1:-1:1)[/texx] (si lo leo bien).
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 05/01/2020, 17:53:49 »

Hola

Sería feliz si esta forma de proceder fuera correcta, pero no lo es. Resulta que tengo que acordarme de que "es un haz de tipo IV". No me puedo creer que esa sea la única forma de hacer esto bien.

Con el matiz que te ha indicado, la otra forma que pretendías usar para resolverlo es también correcta.

Pero el método de los haces suele ser muy cómodo; y no hay que plantearlo como "tengo que saberme los tipos de haces y adivinar cuál hay que aplicar".

La filosofía de los haces es conseguir dos cónicas que cumplan cuatro de las condiciones pedidas, generar un haz con ellas que tendrán esas cuatro condiciones en común y con una quinta condición hallar la cónica buscada.

En nuestro caso la propia cónica dada obviamente es oscultatriz a si misma en cualquier punto y pasa por [texx](3:6:-2)[/texx], lego ya es una de las cónicas para el haz.

Necesitamos otra y lo más fácil suele ser construirla como una cónica degenerada: basta con tomar el producto de las rectas tangente a la cónica dada en el punto de contacto y la que une tal punto con el [texx](3:6:-2)[/texx].

A donde voy es que si uno entiende la "filosofía" de los haces de cónicas su manejo no es de nada memorístico.

Saludos.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #3 : 05/01/2020, 18:03:54 »

Hola,

Antes que nada, muchas gracias por responderme.

Pero si impones que la multiplicidad de intersección de ambas cónicas en el punto que te dan sea [texx]3[/texx] (es decir, contacto de orden [texx]2[/texx]) entonces te saldrá lo que toca.

¿Cómo se haría? Si no es mucho lío.

Cita
Dicho esto, seguro que es más rápido usar haces de cónicas que imponer las condiciones a mano (aunque si yo lo tuviera que hacer lo haría imponiendo condiciones, más que nada porque no sé qué es un haz de tipo IV).

Intentaré memorizar algo más.

Cita
Por cierto, no sé si el enunciado que has escrito se corresponde con la imagen, pero en un enunciado dice que pasa por [texx](1:0:1)[/texx] y en el otro por [texx](1:-1:1)[/texx] (si lo leo bien).

Cierto, me di cuenta pero no quise expresarlo. Siento si no vi la importancia en decirlo.

Saludos.

edit:

A donde voy es que si uno entiende la "filosofía" de los haces de cónicas su manejo no es de nada memorístico.

Saludos.

Entendido. Gracias.
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