29 Febrero, 2020, 09:32 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Operador lineal acotado que conmuta con traslaciones. Convolución con medida.  (Leído 109 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
lindtaylor
Pleno*
*****

Karma: +0/-1
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.303



Ver Perfil
« : 25 Diciembre, 2019, 03:44 »

Hola. Estoy atascado en una proposición que aparece en Stein, "Singular Integrals and Differentiability properties of functions", página 28.

Proposición. Sea [texx]T[/texx] una trasformación lineal acotada de [texx]L^1[/texx] en si mismo. ([texx]L^1:=L^1(\mathbb{R}^n)[/texx])
Entonces una condición necesaria y suficiente para que T conmute con traslaciones es que exista una medida [texx]\mu[/texx] en [texx]\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)[/texx] (Las medidas finitas de Borel) tal que [texx]T(f)=f\ast \mu[/texx] para todo [texx]f\in L^1[/texx]. Además [texx]\left\|T\right\|=\left\|\mu\right\|.[/texx]

Si [texx]T(f)=f\ast \mu[/texx] entonces es inmediato [texx]\left\|T(f)\right\|_{L^1}\leq \left\|f\right\|_{L^1} \left\|\mu\right\|[/texx] y como [texx]\left\|T\right\| [/texx] es la menor cota superior, se tiene que [texx]\left\|T\right\|\leq \left\|\mu\right\|[/texx], pero no logro probar que  [texx]\left\|\mu\right\|\leq \left\|T\right\|[/texx]

¿Cuál sería una buena manera para demostrarlo?
Pensaba en encontrar una función [texx]f\in L^1[/texx] con norma menor o igual a 1 tal que [texx]f\ast \mu=\mu[/texx] para así tener que [texx]\left\|T\right\|\geq  \left\|T(f)\right\|_{L^1}=\left\|f\ast \mu\right\|_{L^1}=\left\|\mu\right\|_{L^1}[/texx], es decir,
[texx]\left\|\mu\right\|_{L^1}\leq \left\|T\right\| [/texx]para tener que [texx]\left\|T\right\|[/texx] cota superior para [texx]\left\|\mu\right\|_{L^1}[/texx] y así llegar a que [texx]\left\|\mu\right\|\leq \left\|T\right\| [/texx]pero no sé si los últimos pasos son válidos, ya que estoy diciendo que toda medida de Borel finita es integrable, al decir que [texx]\left\|\mu\right\|_{L^1}\leq \left\|\mu\right\|[/texx]...

Moderación: He añadido una etiqueta de LaTeX que faltaba.
En línea

....
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +3/-0
Conectado Conectado

España España

Mensajes: 1.794


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 25 Diciembre, 2019, 07:31 »

Lo que puedo decir de esto es que, debido al teorema de Radon-Nikodym, si [texx]\mu [/texx] es una medida compleja en algún espacio medible entonces [texx]\,\mathrm d \mu =h\,\mathrm d |\mu |[/texx] para alguna función medible [texx]h[/texx] tal que [texx]|h|=1[/texx] casi en todas partes (respecto de [texx]\mu [/texx]). Entonces tenemos que [texx]Tf(x)=\int f(x-y)h(y)\,\mathrm d |\mu |(y)[/texx].

Ahora, dado un [texx]f\in L^1[/texx]

[texx]\displaystyle{
\|f*\mu \|=\int\left|\int f(x-y)h(y)\,\mathrm d |\mu |(y)\right|\,\mathrm d \lambda(x)=\int\left|\int f(y)h(x-y)\,\mathrm d |\mu |(y)\right|\,\mathrm d \lambda(x)\leqslant \int |f|\,\mathrm d (|\mu |\times \lambda )=\|f\|\|\mu \|
}[/texx]

ya que la operación de convolución es conmutativa, como se puede ver con el cambio de variable [texx]x-y=\tau[/texx] (por otro lado sospecho que en general no existe un [texx]f[/texx] tal que [texx]\|f*\mu\| =\|\mu\| [/texx]).

De momento no veo cómo demostrar que [texx]\|\mu \|\leqslant \|T\|[/texx].
En línea
lindtaylor
Pleno*
*****

Karma: +0/-1
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.303



Ver Perfil
« Respuesta #2 : 31 Diciembre, 2019, 01:18 »

Tengo lo siguiente para la demostración pero hay unas afirmaciones que no sé si son correctas.

[texx]L^1:=L^1(\mathbb{R}^n)
[/texx]
Sea  [texx]\phi\in L^1[/texx] tal que  [texx]\int_{R^n}\phi(x)dx=1[/texx] y para todo [texx]\epsilon>0[/texx],\ [texx]\phi_{\epsilon}:=\epsilon^{-n}\phi(x/\epsilon)[/texx]
Es fácil ver que  [texx]\|\phi_{\epsilon}\|_{1}=\|\phi\|_{1}[/texx] ya que la medida de Lebesgue es invariante bajo traslaciones.

Lema. Sea [texx]\phi\in L^1, \|\phi\|_{1}=1[/texx].
Para todo [texx]f\in L^p,\ 1\leq p<\infty,\  \lim_{\epsilon\to 0}\|f\ast \phi_{\epsilon}-f\|_{p}=0.[/texx]

Observación: [texx]\{\phi_{\epsilon}\}_{\epsilon>0}[/texx] es una aproximación de la identidad.


Por el lema, [texx] \lim_{\epsilon\to 0} \int_{R^n}f\ast \phi_{\epsilon}(x)dx=\lim_{R^n}f(x)dx.[/texx]

Ahora, como [texx]\|\phi_{\epsilon}\|_{1}=1 \text{ entonces } \|T\phi_{\epsilon}\|_{1}[/texx] es acotada en[texx] L^1[/texx] ya que  T es acotada.

Debido a que [texx]L^1[/texx] se puede identificar como un subconjunto del espacio de medidas finitas de Borel,  el cual es el espacio [texx]C_{0}:=C_{0}(R^n)[/texx] de funciones continuas que se hacen cero en el infinito, se obtiene la familia [texx]T\phi_{\epsilon}[/texx] la cual permanece en un múltiplo de la bola unitaria en  [texx](C_{0})^{\ast}[/texx]. Por el teorema de Banach-Alaoglu, este es un  conjunto compacto débil estrella. Por lo tanto, existe una subsucesión de [texx]T\phi_{\epsilon}[/texx] que converge en la topología débil estrella a una medida [texx] \mu[/texx]
Esto es, para todo [texx]\epsilon_{k}\to 0[/texx], y todo [texx]g\in C_{0}[/texx], tenemos

[texx]\lim_{k\to\infty}\int_{R^n}g(x)T\phi_{\epsilon_{k}}(x)dx=\int_{R^n}g(x)\mu(x)dx[/texx]
(Acá usé  $[texx]d\mu(x)=\mu(x)dx[/texx] lo cual no sé si es correcto ...)

Ahora, como [texx]T[/texx] es lineal, conmuta con traslaciones, además  del hecho que
 [texx]C_{0}[/texx] es denso en [texx]L^1[/texx] y [texx]$T\phi_{\epsilon_{k}}\to \mu[/texx], convergencia débil estrella

[texx]\begin{align*}
f\ast \mu(x)&=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\mu(x-y)dy\\
&=\lim_{k\to\infty} \int_{\mathbb{R}^n}f(y)(T\phi_{\epsilon_{k}})(x-y)dy\\
&=\lim_{k\to\infty} \int_{\mathbb{R}^n}f(y)\tau_{y} (T\phi_{\epsilon_{k}}(x))dy\\
&=\lim_{k\to\infty} \int_{\mathbb{R}^n}f(y) T(\tau_{y}\phi_{\epsilon_{k}})(x)dy\\
&=\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f(y)T(\phi_{\epsilon_{k}}(x-y))dy\\
&=\lim_{k\to\infty}T\left(\int_{\mathbb{R}^n}f(y)(\phi_{\epsilon_{k}}(x-y))dy\right)\\
&=Tf(x)
\end{align*}[/texx]

En lo anterior, no sé si es correcto lo siguiente:

\text{Si } [texx]\lim_{k\to\infty}\int_{R^n}f(y)T\phi_{\epsilon_{k}}(y)dy=\int_{R^n}f(y)\mu(y)dy[/texx] para todo [texx]f\in L^1[/texx] (ya que  [texx]C_0[/texx] es denso en [texx]L^1[/texx])
implica [texx]\lim_{k\to\infty}\int_{R^n}f(y)T\phi_{\epsilon_{k}}(x-y)dy=\int_{R^n}f(y)\mu(x-y)dy ?
[/texx]
En línea

....
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!