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Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.  (Leído 5643 veces)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #40 : 17 Diciembre, 2019, 14:14 »

Hola

 Creo que está, salvo erratas, todo bien. Aunque con cuatro lineas se deduciría lo mismo.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma [texx]6n\pm1
  [/texx]; es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Todo los enteros menos los pares o múltiplos de tres.

Cita
Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números [texx]c=a+b
  [/texx] y [texx]e=a-b
 [/texx].

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

La unicidad es inmediata. ¡Estás definiendo una variable como la suma y otra como la diferencia!. ¡Ya está!.

Cita
Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto [texx]c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
 [/texx], donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Sería:

 [texx]c\cdot e=(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
 [/texx],

¿No?.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #41 : 17 Diciembre, 2019, 14:24 »

Hola

 Creo que está, salvo erratas, todo bien. Aunque con cuatro lineas se deduciría lo mismo.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma [texx]6n\pm1
  [/texx]; es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Todo los enteros menos los pares o múltiplos de tres.

Cita
Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números [texx]c=a+b
  [/texx] y [texx]e=a-b
 [/texx].

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

La unicidad es inmediata. ¡Estás definiendo una variable como la suma y otra como la diferencia!. ¡Ya está!.

Cita
Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto [texx]c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
 [/texx], donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Sería:

 [texx]c\cdot e=(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
 [/texx],

¿No?.

Saludos.

Hola, Luis. Sí, me he equivocado en la letra; de acuerdo en todo.

Muchas gracias.

Saludos.
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« Respuesta #42 : 18 Diciembre, 2019, 15:19 »


Estaba pensando en eso que hice de convertir el [texx]6n\pm1
[/texx] en un [texx](a^{2}+3b^{2}) [/texx] y deducir que “b” tenía que ser divisible entre tres (en el primer caso de la demostración). Es muy sencillo, sí, pero me  pregunto que, si pasara por aquí un lector curioso (no en sí un aficionado a las matemáticas de los que participan y saben cosas) qué entendería con más facilidad, si eso o una simple cuenta con raíces de las que él hizo en el colegio; creo que lo segundo.

Desisto de encontrar otra prueba, la que hay es sencilla realmente (o complejamente) al menos por lo que yo creo entender. No necesita apenas ahondar en la teoría, la unicidad de la factorización se ve clara en este caso. Sólo hay que multiplicar conjugados e identificar términos; que se ve que son los que son mirando las cosas y pensando un poco. Tampoco dan problemas los signos al elegir las soluciones conjugadas. No sé, no veo nada demasiado difícil; si que es un poco largo dar todas las explicaciones sobre los coprimos, descenso al infinito, etc.; es un poco larga de “contar”, pero similar a la de n=4 en la mayoría de las deducciones.

¡Fermateros: no merece la pena, cualquier otra prueba va a ser más complicada seguro, pasaos a la conjetura de Goldbach! :sonrisa:

Saludos.
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« Respuesta #43 : 19 Diciembre, 2019, 05:17 »

Hola

Estaba pensando en eso que hice de convertir el [texx]6n\pm1
[/texx] en un [texx](a^{2}+3b^{2}) [/texx] y deducir que “b” tenía que ser divisible entre tres (en el primer caso de la demostración). Es muy sencillo, sí, pero me  pregunto que, si pasara por aquí un lector curioso (no en sí un aficionado a las matemáticas de los que participan y saben cosas) qué entendería con más facilidad, si eso o una simple cuenta con raíces de las que él hizo en el colegio; creo que lo segundo.

Dicho con todo el cariño feriva, desde luego con las vueltas que das para probar cosas algunas tan inmediatas como las que te indiqué... desde luego.. si...una prueba con matemáticas elementales escrita por ti, llenaría tres tomos.  :guiño:

Cita
Desisto de encontrar otra prueba, la que hay es sencilla realmente (o complejamente) al menos por lo que yo creo entender. No necesita apenas ahondar en la teoría, la unicidad de la factorización se ve clara en este caso. Sólo hay que multiplicar conjugados e identificar términos; que se ve que son los que son mirando las cosas y pensando un poco. Tampoco dan problemas los signos al elegir las soluciones conjugadas. No sé, no veo nada demasiado difícil; si que es un poco largo dar todas las explicaciones sobre los coprimos, descenso al infinito, etc.; es un poco larga de “contar”, pero similar a la de n=4 en la mayoría de las deducciones.

Yo reconozco que la curiosidad de ver una prueba escrita trampeando los argumentos que usan factorizaciones de enteros de Gauss y similares, para usar sólo enteros y "matemáticas de Bachillerato" la tengo. Simplemente como ejercicio de estilo, como extravagancia casi. Está claro que sería en realidad más complicada, más larga, más oscura que las pruebas conocidas.

Saludos.
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« Respuesta #44 : 19 Diciembre, 2019, 06:52 »



Dicho con todo el cariño feriva, desde luego con las vueltas que das para probar cosas algunas tan inmediatas como las que te indiqué... desde luego.. si...una prueba con matemáticas elementales escrita por ti, llenaría tres tomos.  :guiño:

:cara_de_queso: Sí, soy consciente de eso, es debido a mi torpeza en todo y a lo poco que conozco la teoría, que tanto simplifica las cosas. Pero es que me apasiona lo de ir mirando restos y divisibilidades en plan rupestre,  inventando cosas ya inventadas; y además inventadas de mejor manera. Y después voy y escribo unas sábanas (encima llenas de despistes y errores, que muchas veces no termino de corregir del todo) que imagino que la gente dirá “pero qué tío más pesado”. Pero me lo paso bien, y, cómo soy malo para entender a algunas cosas a la primera, de esta forma, de tanto dar vueltas, al final las entiendo.
De hecho tengo escritas varias páginas “demostrando” a Euler y “explicando” las explicaciones de Argentinator, de Carlos Ivorra y otros... Sin embargo, en esta ocasión me he dicho que para qué, si es lo mismo; al que verdaderamente le interese y quiera mirar cómo es, ahí lo tiene; y sin despistes.

Cita
Yo reconozco que la curiosidad de ver una prueba escrita trampeando los argumentos que usan factorizaciones de enteros de Gauss y similares, para usar sólo enteros y "matemáticas de Bachillerato" la tengo. Simplemente como ejercicio de estilo, como extravagancia casi. Está claro que sería en realidad más complicada, más larga, más oscura que las pruebas conocidas.

Ya sospechaba yo que tenías que ser de capaz de eso; y de mucho más (ah, había leído mal, creí que decías que tenías una demostración así, y hablas de la curiosidad de verla)

Muchas gracias otra vez por las revisiones y correcciones; sin las cuales me enredaría todavía más de lo que me enredo. 

Saludos.
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« Respuesta #45 : 19 Diciembre, 2019, 10:51 »

Hola, no he podido escribir antes.


¡Fermateros: no merece la pena, cualquier otra prueba va a ser más complicada seguro, pasaos a la conjetura de Goldbach! :sonrisa:


No sé qué le ves a la Conjetura de Goldbach feriva, siento ser tan claro; pero eres tú el que -nos- has tirado de la lengua. ¿Y qué, que todo número par pueda ser escrito como una suma de 2 primos? Existen infinitos primos y no tienen un patrón, no sé cómo se va a poder demostrar eso. Por ejemplo, que todo entero pueda escribirse como una suma de a lo máximo 4 cuadrados. Ya demostrado. Pues sí le veo interés. Muy curioso. Pero que pueda escribirse un número par como la suma de 2 primos pues francamente no. A no ser.. que el propósito secreto de la Conjetura sea buscar "un patrón" en la distribución de los números primos entre los enteros. Entonces sí le vería interés a la Conjetura. Pero tampoco veo un gran flanco con ese planteamiento de los pares para atacar un objetivo así de tanta envergadura.

Un saludo,
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
feriva
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« Respuesta #46 : 19 Diciembre, 2019, 14:27 »


No sé qué le ves a la Conjetura de Goldbach feriva, siento ser tan claro; pero eres tú el que -nos- has tirado de la lengua.

A ver si me voy a enfadar por meterte con la conjetura de Goldbach,  :enojado: ( :cara_de_queso: )

Por supuesto que eso de que os paséis a la conjetura de Goldbach era una broma. Además, ya ha dicho Luis que sí le produce curiosidad una prueba de este caso sin usar complejos.

En realidad, el enunciado de la conjetura fuerte de Goldbach es una particularidad; se puede ampliar según el teorema de feriva (una simpleza de niños, como puedes imaginar ) condicionado a que sea verdad para p=2:

“Siempre que no sea primo, todo múltiplo de un primo “p” se puede expresar como suma de una cantidad exacta de “p” sumandos primos.”

Lo muestro al principio de este hilo (donde además te cito de entrada, ahora que lo remiro  ).

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=91205.msg368105#msg368105

Y eso, a lo mejor, lleva a una relación más amplia con el orden de los primos y demás cuestiones, aunque no sé.


Voy a justificar un poco por qué he opinado así, que por no ser pasado, como decía, no me he querido extender en la última respuesta

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Saludos.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #47 : 19 Diciembre, 2019, 15:11 »

Hola feriva. Supongo que todo consiste en averiguar más sobre la naturaleza de los números primos. Ok. Yo es que siempre he tenido la intuición de que no hay patrón entre los números primos, por eso se me antoja el tema muy ancho. Para mí, una fórmula que determinara qué primo es el siguiente a uno dado, sería algo tan gordo como decir que todo en la vida está determinado y no existe la libertad jaja. Perdona por esta salida de las matemáticas. Leibniz pensaba así. Y no es nada malo, claro. A mí resultaría extraño, eso es todo.

Respecto del UTF, a ver cuando puedo publicar algo al respecto -que estará mal, claro- y entonces con eso te contesto a lo de que no hay otra forma que la estricta literal de Euler para abordar el tema. La semana que viene o la otra podré publicarlo, creo; si no descubro un fallo troncal, claro. Yo sé que parece increíble -porque me lo parece a mí también- que todavía no haya tirado la toalla en este tema. Pero es cierto, todavía no lo he hecho.

Un saludo,
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« Respuesta #48 : 19 Diciembre, 2019, 15:47 »

Hola

Para mí, una fórmula que determinara qué primo es el siguiente a uno dado, sería algo tan gordo como decir que todo en la vida está determinado y no existe la libertad jaja. Perdona por esta salida de las matemáticas. Leibniz pensaba así.

Sin ánimo de remover los cimientos vitales de nadie:



Añadido: en las fracciones que aparecen en la fórmula se ha de tomar la parte entera.

El autor (creo) es Sebastián Martín Ruíz, que ha intervenido alguna vez en el foro.

Saludos.

P.D. Lo de que los primos no siguen "un patrón", siempre me ha parecido una afirmación muy vaga (y sé que la dicen muchos matemáticos, sobre todo en libros divulgativos).  Hay muchas cosas que se saben sobre los primos y otras no. No hace falta ir a los primos para tener problemas muy difíciles de resolver, como el propio UFT, basado en los naturales cuyo "patrón" es obvio o la Conjetura de Collatz donde precisamente tenemos una fórmula muy clara y sencilla que nos dice como hallar el siguiente término en función del anterior, y aun así se complica.

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Fernando Moreno
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« Respuesta #49 : 19 Diciembre, 2019, 16:16 »

Hola,

Para mí, una fórmula que determinara qué primo es el siguiente a uno dado, sería algo tan gordo como decir que todo en la vida está determinado y no existe la libertad jaja. Perdona por esta salida de las matemáticas. Leibniz pensaba así.

Sin ánimo de remover los cimientos vitales de nadie:



El autor (creo) es Sebastián Martín Ruíz, que ha intervenido alguna vez en el foro.

Uno puede no tener ánimo de remover cimientos vitales y sin embargo hacerlo. Bueno, yo soy un poco como Groucho Marx. Tenía unos principios, pero ahora, a la luz de esto, tengo otros. ¿Alguien sería tan amable de indicarme en concreto como funcionaría la fórmula? Lo he intentado pero no me sale. Tengo el primo: p=3 y quiero obtener el siguiente: 5? Por otra parte yo pensé que una fórmula así aclararía el tema de la distribución de los números primos, pero parece que son cosas diferentes.

Cita
P.D. Lo de que los primos no siguen "un patrón", siempre me ha parecido una afirmación muy vaga (y sé que la dicen muchos matemáticos, sobre todo en libros divulgativos).  Hay muchas cosas que se saben sobre los primos y otras no. No hace falta ir a los primos para tener problemas muy difíciles de resolver, como el propio UFT, basado en los naturales cuyo "patrón" es obvio o la Conjetura de Collatz donde precisamente tenemos una fórmula muy clara y sencilla que nos dice como hallar el siguiente término en función del anterior, y aun así se complica.

Ok

Saludos,


Añadido:

Por otra parte en Wikipedia leo esto:

<< Fórmula de los números primos >>

En matemáticas, una fórmula de los números primos es aquella que genera los números primos, exactamente y sin excepción alguna. Otro gran acuerdo a esto es qué se considera como una «fórmula» y qué no. No existe ninguna fórmula polinómica para obtener todos los números primos. Tampoco existe alguna fórmula polinómica no constante que sólo obtenga valores primos. La mayoría de la gente puede objetar que el término «fórmula» se restringe solamente a los polinomios. ¿Podría uno usar sumatorias, factoriales y la función piso? Si así fuera, de hecho, sí existen fórmulas de los números primos. Una interpretación razonable de la palabra «fórmula» es «una máquina de Turing que se detiene bajo todas las entradas». Bajo esta interpretación ciertamente existen máquinas de Turing que se detienen las cuales computan el enésimo número primo. Aun así, nadie sabe cómo calcular el enésimo número primo en tiempo polinómico. Dicho de otra forma, no se conoce alguna fórmula fácilmente computable.

Y si busco en wikipedia quién es << Sebastián Martín Ruíz >>. No sale nada. En otras páginas dice que es un profesor de matemáticas andaluz.

En fin, hay algo que no estoy entendiendo. Sdos
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« Respuesta #50 : 19 Diciembre, 2019, 17:33 »

Hola

Uno puede no tener ánimo de remover cimientos vitales y sin embargo hacerlo. Bueno, yo soy un poco como Groucho Marx. Tenía unos principios, pero ahora, a la luz de esto, tengo otros. ¿Alguien sería tan amable de indicarme en concreto como funcionaría la fórmula? Lo he intentado pero no me sale. Tengo el primo: p=3 y quiero obtener el siguiente: 5?

Si [texx]j=4[/texx], calculemos:

[texx]\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor =\left \lfloor \dfrac{4-1}{1}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{4}{1}\right \rfloor+
\left \lfloor \dfrac{4-1}{2}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{4}{2}\right \rfloor=3-4+1-2=-2[/texx]

Por tanto:

[texx]\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{-2}{4}\right\rfloor=-1[/texx]

Si [texx]j=5[/texx], calculemos:

[texx]\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor =\left \lfloor \dfrac{5-1}{1}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{5}{1}\right \rfloor+
\left \lfloor \dfrac{5-1}{2}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{5}{2}\right \rfloor=4-5+2-2=-1[/texx]

Por tanto:

[texx]\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{0}{5}\right\rfloor=0[/texx]

Eso quieres decir que en el producto si [texx]k\geq 5[/texx] siempre aparece el factor cero, así que en este caso sólo hay que calcularlo para [texx]k=4[/texx].

Te va a quedar entonces:

[texx]next(3)=1+3+1=5[/texx]

Si tengo más tiempo te doy una idea de porque funciona la fórmula; ahora no puedo.

Cita
Por otra parte yo pensé que una fórmula así aclararía el tema de la distribución de los números primos, pero parece que son cosas diferentes.

Como te dije en mi opinión, decir "el tema de la distribución de los números primos" es una cuestión demasiado vaga, demasiado amplia; hay cuestiones conocidas sobre los primos y otras no (esto es vago también, lo sé  :cara_de_queso:).

Cita
<< Fórmula de los números primos >>

En matemáticas, una fórmula de los números primos es aquella que genera los números primos, exactamente y sin excepción alguna. Otro gran acuerdo a esto es qué se considera como una «fórmula» y qué no. No existe ninguna fórmula polinómica para obtener todos los números primos. Tampoco existe alguna fórmula polinómica no constante que sólo obtenga valores primos. La mayoría de la gente puede objetar que el término «fórmula» se restringe solamente a los polinomios. ¿Podría uno usar sumatorias, factoriales y la función piso? Si así fuera, de hecho, sí existen fórmulas de los números primos. Una interpretación razonable de la palabra «fórmula» es «una máquina de Turing que se detiene bajo todas las entradas». Bajo esta interpretación ciertamente existen máquinas de Turing que se detienen las cuales computan el enésimo número primo. Aun así, nadie sabe cómo calcular el enésimo número primo en tiempo polinómico. Dicho de otra forma, no se conoce alguna fórmula fácilmente computable.

¿Qué no entiendes de ahí?. Básicamente el problema es que esas fórmulas tipo la que te mostré son un infierno para calcular de manera efectiva primos: muy lentas, requieren un número de operaciones brutal. Y tampoco ayudan gran cosa para resultados teóricos. Son casi un extravagancia, una anécdota; pero si sirven para recordar que la cosa no es tan simple como decir "no existe una fórmula para los primos".

Cita
Y si busco en wikipedia quién es << Sebastián Martín Ruíz >>. No sale nada. En otras páginas dice que es un profesor de matemáticas andaluz.

¿Es relevante eso? No se si esperabas que fuera muy famoso. Como te dije las fórmulas tienen la importancia que tienen, sin restar mérito alguno a Sebastián (que aunque en el foro no tuvo una intervención demasiado afortunada, tiene fórmulas sobre primos y combinatoria muy ingeniosas y sorprendentes).

Si quieres saber más sobre él:

http://numerosprimos.net/

Saludos.
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« Respuesta #51 : 19 Diciembre, 2019, 18:05 »

Hola Luis. Muchas gracias por mostrarme lo de la fórmula y por todas las demás explicaciones.

¿Es relevante eso? No se si esperabas que fuera muy famoso. Como te dije las fórmulas tienen la importancia que tienen, sin restar mérito alguno a Sebastián (que aunque en el foro no tuvo una intervención demasiado afortunada, tiene fórmulas sobre primos y combinatoria muy ingeniosas y sorprendentes).

Te digo como lo veo. Alguien -me consta que escriben en este Foro algunos matemáticos andaluces, por ejemplo-, debería editar esa entrada señalada del Wikipedia español y poner como ejemplo de fórmula complicada, pero ingeniosa y concluyente, la de Sebastián Martín. Porque es totalmente pertinente con el tema tratado. Y alguien también, quizás del entorno de este Sr., debería abrir un enlace en el Wikipedia con el nombre de Sebastián Martín Ruíz donde se describiera brevemente quién es y lo que ha hecho. Me parece lo mínimo.

Un saludo,

PD. feriva, ahí tienes un tema estupendo para ti: Mejorar esa fórmula (yo también puedo dar consejos)
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« Respuesta #52 : 19 Diciembre, 2019, 19:05 »


PD. feriva, ahí tienes un tema estupendo para ti: Mejorar esa fórmula (yo también puedo dar consejos)

Pobrecito de mí :sonrisa:

Te voy a dar una que no es una máquina de Turing; no se para en todas las entradas, se para sólo en los primos; y los va dando todos.

[texx](n-1)!\equiv-1(mod\, n)
 [/texx].

O sea

[texx](n-1)!+1=nk
 [/texx]

Empezando por 2

[texx](2-1)!+1=2k
 [/texx]; se para, 2 es divisible entre 2.

[texx](3-1)!+1=3k
 [/texx]; también, es 3/3.

[texx](4-1)!+1=4k
 [/texx]; no se para, tenemos que 4 no divide a 7.

[texx](5-1)!+1=5k
 [/texx]; se para, 5 divide a 25

[texx](6-1)!+1=6k
 [/texx], no se para, 121 no es divisible entre 6

[texx](7-1)!+1=7k
 [/texx], sí se para, 721 es divisible entre siete...

Y así.

Se llama teorema de Wilson, no sé si lo conocías.

(Mi consejo no es que no intentes demostrar eso, sí que te aconsejo que sigas intentando ésos casos de Fermat, y espero que lo consigas además; pero veo difícil que al final sea una prueba más sencilla, sólo eso).

Saludos.
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« Respuesta #53 : 20 Diciembre, 2019, 06:00 »

Hola

 Explicación de la fórmula:

1) [texx]c(j,s)=\left\lfloor\dfrac{j}{s}\right\rfloor\color{red}-\color{black}\left\lfloor\dfrac{j-1}{s}\right\rfloor[/texx] vale uno si [texx]s[/texx] es divisor de [texx]j[/texx] y cero en otro caso.

2) [texx]d(j)=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}c(j,s)[/texx] es el número de divisores de [texx]j[/texx] si [texx]j[/texx] no es cuadrado perfecto y el número de divisores de [texx]j[/texx] más uno si [texx]j[/texx] es cuadrado perfecto.

Para justificarlo basta tener en cuenta (i), y que si [texx]s\neq \sqrt{j}[/texx] entonces [texx]s[/texx] y [texx]j/s[/texx] son dos divisores distintos de [texx]j[/texx].

3) De (2) se deduce que: [texx]2\leq d(j)\leq j[/texx]. Además el número [texx]j[/texx] es primo si y sólo si tiene dos divisores, es decir, [texx]d(j)=2[/texx].

4) [texx]f(j)=-\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\color{red}-\color{black}\left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor[/texx] vale [texx]0[/texx] si [texx]j[/texx] es primo y [texx]1[/texx] en otro caso.

Para probarlo notamos que por (3), [texx]2-j\leq 2-d(j)\leq 0[/texx] por tanto  [texx]-1<\dfrac{2-d(j)}{j}\leq 0[/texx] y[texx] \left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor\in \{-1,0\}[/texx]. En particular vale cero sólo si [texx]2-d(j)=0[/texx], es decir, si [texx]d(j)=2[/texx]; esto es, si [texx]j[/texx] es primo.

5) [texx]\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j)[/texx] vale [texx]1[/texx] si todos los números entre [texx]p+1[/texx] y [texx]k[/texx] (incluidos) son compuestos, y cero si hay entre ellos algún primo. Esto es inmediato de (4).

En otras palabras ese producto vale [texx]0[/texx] a partir del primer [texx]k[/texx] primo mayor que [texx]p[/texx] y [texx]1[/texx] antes.

6) De (5) se deduce que en [texx] \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) [/texx] cada sumando vale [texx]1[/texx] hasta que [texx]k[/texx] alcanza el primer primo mayor que [texx]p[/texx]. El postulado de Bertrand garantiza que tal próximo primo se alcanza antes de [texx]2p[/texx].

En otras palabras, si [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx], entonces ese sumatorio vale [texx]q-(p+1).[/texx]

7) De (6) se deduce que:

[texx]1+p+ \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) =1+p+q-(p+1)=q[/texx]

siendo [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx].

Saludos.

CORREGIDO (gracias geómetracat)
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« Respuesta #54 : 20 Diciembre, 2019, 09:58 »

Hola,

Se llama teorema de Wilson, no sé si lo conocías.

No lo conocía. Muchas gracias por todo feriva


Hola

 Explicación de la fórmula:

1) [texx]c(j,s)=\left\lfloor\dfrac{j}{s}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{j-1}{s}\right\rfloor[/texx] vale uno si [texx]s[/texx] es divisor de [texx]j[/texx] y cero en otro caso.

2) [texx]d(j)=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}c(j,s)[/texx] es el número de divisores de [texx]j[/texx] si [texx]j[/texx] no es cuadrado perfecto y el número de divisores de [texx]j[/texx] más uno si [texx]j[/texx] es cuadrado perfecto.

Para justificarlo basta tener en cuenta (i), y que si [texx]s\neq \sqrt{j}[/texx] entonces [texx]s[/texx] y [texx]j/s[/texx] so dos divisores distintos de [texx]j[/texx].

3) De (2) se deduce que: [texx]2\leq d(j)\leq j[/texx]. Además el número [texx]j[/texx] es primo si y sólo si tiene dos divisores, es decir, [texx]d(j)=2[/texx].

4) [texx]f(j)=-\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor[/texx] vale [texx]0[/texx] si [texx]j[/texx] es primo y [texx]1[/texx] en otro caso.

Para probarlo notamos que por (3), [texx]2-j\leq 2-d(j)\leq 0[/texx] por tanto  [texx]-1<\dfrac{2-d(j)}{j}\leq 0[/texx] y[texx] \left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor\in \{-1,0\}[/texx]. En particular vale cero sólo si [texx]2-d(j)=0[/texx], es decir, si [texx]d(j)=2[/texx]; esto es, si [texx]j[/texx] es primo.

5) [texx]\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j)[/texx] vale [texx]1[/texx] si todos los números entre [texx]p+1[/texx] y [texx]k[/texx] (incluidos) son compuestos, y cero si hay entre ellos algún primo. Esto es inmediato de (4).

En otras palabras ese producto vale [texx]0[/texx] a partir del primer [texx]k[/texx] primo mayor que [texx]p[/texx] y [texx]1[/texx] antes.

6) De (5) se deduce que en [texx] \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) [/texx] cada sumando vale [texx]1[/texx] hasta que [texx]k[/texx] alcanza el primer primo mayor que [texx]p[/texx]. El postulado de Bertrand garantiza que tal próximo primo se alcanza antes de [texx]2p[/texx].

En otras palabras, si [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx], entonces ese sumatorio vale [texx]q-(p+1).[/texx]

7) De (6) se deduce que:

[texx]1+p+ \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) =1+p+q-(p+1)=q[/texx]

siendo [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx].

Saludos.

¡Muchas gracias! Qué gran labor. Qué lujo de Administradores tenemos
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« Respuesta #55 : 20 Diciembre, 2019, 14:46 »

Muchas gracias por compartir la fórmula con la explicación, es muy curiosa e ingeniosa a la vez que sencilla. No la conocía y me ha parecido muy interesante.

Un par de erratas que he detectado en la explicación:



1) [texx]c(j,s)=\left\lfloor\dfrac{j}{s}\right\rfloor{\color{red}-}\left\lfloor\dfrac{j-1}{s}\right\rfloor[/texx] vale uno si [texx]s[/texx] es divisor de [texx]j[/texx] y cero en otro caso.

Un más que debería ser menos.

Cita
4) [texx]f(j)=-\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor={\color{red}-}\left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor[/texx] vale [texx]0[/texx] si [texx]j[/texx] es primo y [texx]1[/texx] en otro caso.

Faltaba un menos.

Fernando, el teorema de Wilson ([texx](n-1)! \equiv -1 \; mod \; n[/texx] si y solo si [texx]n[/texx] es primo) es un teorema muy conocido (además de ser útil y bonito) que es relativamente sencillo de demostrar. De hecho, si tienes algún rato muerto puedes entretenerte en intentar demostrarlo, es un buen ejercicio.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #56 : 20 Diciembre, 2019, 15:38 »

Hola,

Fernando, el teorema de Wilson ([texx](n-1)! \equiv -1 \; mod \; n[/texx] si y solo si [texx]n[/texx] es primo) es un teorema muy conocido (además de ser útil y bonito) que es relativamente sencillo de demostrar. De hecho, si tienes algún rato muerto puedes entretenerte en intentar demostrarlo, es un buen ejercicio.

Voy con la tarea. Por ser tú geómetracat.. Tengo poco tiempo así que espero no decir una burrada muy gorda. Haciendo números es inmediato que: [texx](p-1)¡+1=kp[/texx] . Luego:  [texx](p-1)¡\equiv\,-1\,\,mod\,p[/texx] .  Pero claro, tú me pides una demostración.. Me expreso con los vulgares números: Por ejemplo: 7. Tenemos que:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  son coprimos con " 7 ". Luego:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  [texx]+[/texx]  [texx]1[/texx]  es coprimo respecto de  [texx](p-1)¡[/texx] .  Luego no puede estar "compuesto" por ninguno de sus factores y por otra parte tampoco puede ser otro número primo mayor que "p", pues entonces ése " p' " aparecería como contenido en  [texx](p-1)¡[/texx] .  Luego debe ser un compuesto (distinto) de "p" ó una potencia enésima de "p". Sé que esta no es la demostración, pero sí que debe ser la idea. Un saludo profesor. Espero al menos sacar el 5
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« Respuesta #57 : 20 Diciembre, 2019, 16:13 »


...Sé que esta no es la demostración, pero sí que debe ser la idea.

Por ahí va la idea, Fernando; esto te puede ayudar a rematar quizá

EDITADO

[texx](n-1)!\equiv-1(mod\, n)
  [/texx]

entonces

[texx](n-1)!\equiv n-1(mod\, n)
  [/texx]

entonces

[texx](n-1)!+1-n\equiv0(mod\, n)
  [/texx]

y finalmente

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0(mod\, n)
  [/texx]

Saludos.
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« Respuesta #58 : 20 Diciembre, 2019, 16:44 »

Hola feriva. Ok, si insistes..

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

Pero prefiero mi idea, que no es que "vaya por ahí" sino que "da ahí". Sdos

Añado:

Si ahora multiplico ambos lados por [texx]n-1[/texx] ,  tendré:  [texx]-(n-1)¡\equiv\,1[/texx]  mod [texx]n[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](n-1)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx] .  Pero esto último ya es trampa porque he mirado las demostraciones por internet y la he sacado de Gaussianos que es la que más me gusta (después de la mía, claro)
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« Respuesta #59 : 20 Diciembre, 2019, 16:47 »

Hola feriva. Ok, si insistes..

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx][/tex]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

Pero prefiero mi idea, que no es que "vaya por ahí" sino que "da ahí". Sdos

Las flechitas las he puesto mal, van detrás del módulo, como en la primera; es simplemente para continuar las expresiones, no se si eso hace que se entienda otra cosa.

Recuerda que los primos... son los primeros.

En spoiler va la traducción

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
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