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Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.  (Leído 5640 veces)
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feriva
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« : 10 Diciembre, 2019, 08:55 »

Introducción

Aquí va descrito el esbozo de lo que van a ser los elementos del intento (que aún no sé en qué acabará). En otras respuestas iré desarrollando (si algún fermatero quiere usarlo y lo demuestra antes de que yo acabe, estupendo también; es más, me gustaría, porque yo no sé si voy a tener cabeza para no perderme con algo tan denso).

Como en algunas novelas policíacas, empiezo haciendo una lista de los personajes que van a intervenir; los nombres se usarán a lo largo del intento, así que es importante para quien quiera seguir o utilizar esto (en todo caso las letras son enteros).

Elementos a utilizar

Igualdad 1º [texx]x^{3}+y^{3}=z^{3}
 [/texx] (coprimos)

Igualdad 2º [texx]x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=(a+c)^{3}
 [/texx].

Consideraciones sobre los elementos:

[texx]x=\overset{\bullet}{3}
 [/texx] (x, en hipótesis, será múltiplo de 3).

[texx]x=(a+b):x\: impar\,\Rightarrow
 [/texx] Hagamos “a” par y “b” impar.

Estas condiciones implican:

[texx]a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
 [/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Entonces

[texx]k_{1}=2t_{1}+1
 [/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Análogamente, por similar razón, al ser “b” impar tendremos:

[texx]k_{2}=2t_{2}+1
 [/texx].

Por otra parte

[texx]z=a+c
 [/texx] par; Implica “c” par:

[texx]c=2t_{3}
 [/texx]

[texx]z=a+c\Rightarrow
 [/texx]

[texx]z=3k_{1}+1+2t_{3}=
 [/texx]

[texx]z=3(2t_{1}+1)+1+2t_{3}=
 [/texx]

[texx]z=6t_{1}+4+2t_{3}
 [/texx]

[texx]z=2(3t_{1}+2+t_{3})
 [/texx]

Además, como “z” ha de ser coprimo con 3 para que la igualdad 1º conlleve una terna primitiva, tendremos:

[texx]2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
 [/texx].

Por tanto, será bueno usar esta expresión que sigue para analizar los casos posibles:

[texx]z=2(3t_{1}+3m+r_{1})
 [/texx].

Y como despejando [texx]2+t_{3}=3m+r_{1}
 [/texx], tenemos [texx]2=3m+r_{1}-t_{3}
 [/texx], quizá podrá ser útil también sustituir y analizar la expresión

[texx]z=(3m+r_{1}-t_{3})(3t_{1}+3m+r_{1})=
 [/texx]

Desarrollando con Wolfram

[texx]z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
 [/texx]

Donde [texx]-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}
 [/texx] no puede ser múltiplo de 3.

Si Ahora, agrupamos todos los [texx]\overset{\bullet}{3}
 [/texx] de ese polinomio “z” y elevamos al cubo, el resto de [texx]z^{3}
 [/texx] es

[texx](-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2})^{3}=-r_{1}^{3}t_{3}^{3}+r_{1}^{6}
 [/texx].

Que tampoco puede ser múltiplo de 3, por la misma razón.

...

Consideremos [texx]r_{1}=1
 [/texx], entonces [texx]-t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
 [/texx] y [texx]t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
 [/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Probando la expresión elevada al cubo, como era esperable, no hay ninguna contradicción en el resto de “z”; puede ser [texx]r_1=1[/texx]. Del mismo modo, uno sospecha que tampoco nada se opondrá a que puede ser igual 2 (lo dejo sin probar por ahora).

Se analiza todo un poco, se ve claramente que necesitamos obtener o valorar la paridad de [texx]t_{3}
 [/texx] para intentar encontrar una posible contradicción (lo dejo de momento, porque me da la impresión de que puede ser un poco pesado; quien quiera, ahí lo tiene).

...

Añadamos seguidamente una tercera igualdad a tener en cuenta, la que usa empieza usando Euler para demostrar este caso n=3:

Igualdad 3º

[texx]x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
 [/texx]

[texx]a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
 [/texx]

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx].

Haciendo distintos cambios de variable con los elementos descritos, quizá se pueda ver esa paridad y alguna más; y, con suerte, quizá se pueda demostrar que si x es múltiplo de 3, entonces pasa algo contradictorio.

No olvidemos, por otra parte, que podemos contar con el pequeño teorema de Fermat e incluso podría ser útil más en general la función phi de Euler, pese a que en principio sólo consideremos potencias de 3.

...

Conclusión sobre este esbozo para atacar el problema

Da la impresión de que hay suficientes elementos como para que se delate el absurdo. A fin de cuentas, se están expresando los números como sumas o restas de otros, considerando restos, relaciones... Uno piensa que, si con los complejos (que son igualmente números expresados por sumas) se puede llegar a un contradicción, tendría que poderse llegar también con un artificio más o menos paralelo usando reales.

Si uno eleva al cubo el polinomio [texx]z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
 [/texx] con todos sus términos (y no sólo con el resto como he hecho) aparecen coeficientes muy grandes que, además de ser múltiplos de 3, lo son de otros números; con lo que quizá se puede investigar parcialmente la factorización de “z” y considerar la divisibilidad según otros módulos.

Claro que profundizar en todo eso va a ser un trabajo de chinos; para los pacientes y a la vez menos despistados. La demostración en reales podría ser muchísimo más larga que las demostraciones tradicionales usando enteros gaussianos; pero sí que da la impresión de que puede existir.

A fin de cuentas, no se trata de encontrar una demostración más corta o sencilla, sino una demostración mediante métodos elementales de teoría de números (aritmética modular y divisibilidad en general... todo menos teoría analítica y usar el grupo Zi); lo cual no implica que tenga que ser más fácil ni más corta. Quede claro, entonces, que el reto que se propone no pretende encontrar una demostración más simple ni tampoco necesariamente más fácil de comprender. Yo lo he intentado alguna vez y no lo he conseguido; pero porque me despisto y no tengo cabeza de "ajedrecista", quizá alguien sí pueda.

(espero no haberme equivocado en lo que he analizado)

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Fernando Moreno
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« Respuesta #1 : 10 Diciembre, 2019, 11:07 »

Hola feriva. Te acabo de leer y sí, estoy trabajando en algo parecido a lo que planteas. Tengo algo hecho pero hasta dentro de una semana o así no voy a poder publicar, en estas fechas tengo poco tiempo. De todas maneras tampoco me hago muchas ilusiones, ni tampoco debes hacértelas tú, porque lo más seguro es que está mal y tenga un error troncal. Pero por lo menos te va a gustar porque -creo- va en esta línea que dices y te puede dar ideas. Un saludo,  -claro, añado, si no descubro yo en fallo antes y entonces no publico nada..  pero en este caso, aunque haya error lo expondré por si te es de utilidad o a alguien..
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
feriva
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« Respuesta #2 : 10 Diciembre, 2019, 13:13 »

Hola feriva. Te acabo de leer y sí, estoy trabajando en algo parecido a lo que planteas. Tengo algo hecho pero hasta dentro de una semana o así no voy a poder publicar, en estas fechas tengo poco tiempo. De todas maneras tampoco me hago muchas ilusiones, ni tampoco debes hacértelas tú, porque lo más seguro es que está mal y tenga un error troncal. Pero por lo menos te va a gustar porque -creo- va en esta línea que dices y te puede dar ideas. Un saludo,  -claro, añado, si no descubro yo en fallo antes y entonces no publico nada..  pero en este caso, aunque haya error lo expondré por si te es de utilidad o a alguien..

Muchas gracias por la visita, Fernando; ya sabía yo que, de interesar esto a alguien, iba a ser a ti.

Mira a ver esto y, si está bien, úsalo como si fuera tuyo, sin reparos (si no te apetece mirarlo, espera a que venga Luis, que le verá los fallos que pueda tener; a ver si hubiera suerte y no estuviera mal nada)

...
...


Tenía que

[texx]z=a+c
 [/texx]

[texx]z=3k_{1}+1+c
 [/texx]

Como z no es múltiplo de 3, entonces el resto de “c” módulo 3 ha de ser cero 0 ó 1.

[texx]c\equiv0(mod\,3)\vee c\equiv1(mod\,3
 )[/texx]

Si es cero, entonces

[texx]z\equiv1(mod\,3)
 [/texx]

Si el resto es 1, entonces

[texx]z\equiv2(mod\,3)
 [/texx]

...

Por otra parte tenía

[texx]z=2(3t_{1}+2+t_{3})
 [/texx]

Si divido entre 2, el resto de z/2 (que sigue sin ser múltiplo de 3) es, partiendo de aquí

[texx]\dfrac{z}{2}=3t_{1}+2+t_{3}
 [/texx]

[texx]t_{3}=3n\vee t_{3}=3n+2
 [/texx]

En el primer caso, [texx]z\equiv2(mod\,3)
 [/texx], en el segundo caso [texx]z\equiv1(mod\,3)
 [/texx]

Así que los restos módulo 3 de [texx]c[/texx] y [texx]t_3[/texx], están condicionados.

Ahora, entrando en la igualdad de Euler

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx]

y sutituyendo a y b en función de sus restos, [texx]a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
 [/texx]

[texx]2(3k_{1}+1)[(3k_{1}+1)^{2}+3(3k_{2}+2)^{2}]=z^{3}
 [/texx]

Ee resto que deja lo que hay entre corchete es 1, el cual multiplica a “2a”; por tanto el resto de “z cubo” módulo 3 es 2.

Entonces el resto de “z” no puede ser 1, es 2 también.

De aquí deducimos que la forma de “c” es

[texx]c=3n+1
 [/texx]

y la forma de t3 es

[texx]t_{3}=3n
 [/texx]...

pero teníamos que [texx]c=2t_{3}
 [/texx] y sería múltiplo 3, lo que es contradictorio con [texx]c=3n+1
 [/texx].

Si esto estuviera bien, análogamente se demostraría lo mismo para “y”; y al no poder ser “x” e “y” múltiplos de 3 no lo podría ser z.

Una vez corregido esto (si estuviera bien) volveríamos a la igualdad que usa Euler

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx]

donde (a condición de que eso no esté mal, digo) tendríamos que los factores [texx]2a
 [/texx] y [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] serían primos entre sí y serían dos cubos.

Y con eso ya se tendría bastante ganado, faltaría entrarle para ver por dónde se puede descender al infinito.

Y aunque esté mal, pues digo lo mismo que tú, puede dar ideas.

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10 Diciembre, 2019, 14:09 »

Hola

Si divido entre 2, el resto de z/2 (que sigue sin ser múltiplo de 3) es, partiendo de aquí

[texx]\dfrac{z}{2}=3t_{1}+2+t_{3}
 [/texx]

[texx]t_{3}=3n\vee t_{3}=3n+2
 [/texx]

En el primer caso, [texx]z\equiv2(mod\,3)
 [/texx], en el segundo caso [texx]z\equiv1(mod\,3)
 [/texx]

Eso está de al revés. Si [texx]z\equiv2(mod\,3)[/texx] entonces:

[texx]2(3t_{1}+2+t_{3})=2[/texx] mod [texx]3[/texx]

y de ahí [texx]t_3=2[/texx] mod [texx]3.[/texx] 

Y análogamente si  [texx]z\equiv1(mod\,3)[/texx] entonces [texx]t_3=0[/texx] mod [texx]3[/texx].

Por tanto aquí:

Cita
Entonces el resto de “z” no puede ser 1, es 2 también.

De aquí deducimos que la forma de “c” es

[texx]c=3n+1
 [/texx]

y la forma de t3 es

[texx]t_{3}=3n
 [/texx]...


pero teníamos que [texx]c=2t_{3}
 [/texx] y sería múltiplo 3, lo que es contradictorio con [texx]c=3n+1
 [/texx].

La forma de [texx]t_3[/texx] es en realidad [texx]t_3=3n+2[/texx] y no contradice que [texx]c=2t_3=3(2n+1)+1[/texx].

Por lo demás no veo nada útil en todo lo que has expuesto; la igualdad que usa Euler ya es terreno conocido, pero para proseguir a partir de ella usualmente se usa de manera decisiva un lema que bebe de los cuerpos ciclotómicos.

Saludos.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #4 : 10 Diciembre, 2019, 14:35 »

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis


- Por cierto no sé si empezar la demostración diciendo: Ave, Caesar, morituri te salutant.. jaja. Mejor no, es muy melodramático para vestir una simple asociación de ideas. Sdos,
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« Respuesta #5 : 10 Diciembre, 2019, 15:10 »


Eso está de al revés.

Muchas gracias, Luis.

Sí, qué raro que me haya equivocado, no es normal en mí (ironía ON :sonrisa: ).

Cita
Por lo demás no veo nada útil en todo lo que has expuesto; la igualdad que usa Euler ya es terreno conocido, pero para proseguir a partir de ella usualmente se usa de manera decisiva un lema que bebe de los cuerpos ciclotómicos.

Algo tengo oído, se aprovecha la descomposición única; pero yo sigo intuyendo que tiene que ser posible sin números complejos, haciendo algo con reales, tiene que salir de alguna manera una contradicción o algo  (no seré yo quien lo demuestre si llega a ser así, eso también lo intuyo).

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre.

De nada, Fernando, me hace ilusión que lo demuestres, te lo mereces porque llevas mucho tiempo con ello.
Y yo... ya se sabe, el día que vea a la primera algo del derecho en vez de verlo al revés, van a sonar las campanas; ya tengo la foto preparada:

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Cita

- Por cierto no sé si empezar la demostración diciendo: Ave, Caesar, morituri te salutant.. jaja. Mejor no, es muy melodramático para vestir una simple asociación de ideas. Sdos,

No es para tanto, no; mira con qué estoicismo lo llevo yo :cara_de_queso:

Saludos.
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geómetracat
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« Respuesta #6 : 10 Diciembre, 2019, 16:04 »

Lo cierto es que a mí esto de las demostraciones del teorema de Fermat me da un poco igual, pero me ha llamado la atención este comentario:

Algo tengo oído, se aprovecha la descomposición única; pero yo sigo intuyendo que tiene que ser posible sin números complejos, haciendo algo con reales, tiene que salir de alguna manera una contradicción o algo  (no seré yo quien lo demuestre si llega a ser así, eso también lo intuyo).

Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados. Supongo que depende de la persona, pero a mí siempre me han parecido mucho más iluminadoras las demostraciones que usan conceptos o construcciones más avanzados pero se pueden describir de manera sucinta, que las que se basan en hacer sustituciones y usar argumentos de divisibilidad sin parar hasta llegar a alguna contradicción. Con estas últimas no tengo la sensación de comprender realmente qué es lo que está pasando, cosa que sí me pasa con las primeras. Por ejemplo, me parece mucho más iluminadora la prueba de Kummer para primos regulares (que además sirve para infinitos exponentes) que la de Euler para [texx]n=3[/texx].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #7 : 10 Diciembre, 2019, 16:17 »

Hola

Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

¿Quieres decir que hay pruebas completamente elementales del Teorema de Fermat para [texx]n=3[/texx]? Yo nunca he visto una; es cierto que en teoría uno podría al menos trampear algún razonamiento que use enteros de Gauss o cuerpos ciclotómicos de forma oculta; pero nunca lo he visto escrito. ¿Tu si? ¿Sabes alguna referencia?.

Cita
Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados

Yo creo que hay varios motivos:

- Las matemáticas necesarias para entender el enunciado del Teorema de Fermat son muy básicas; y eso invita a caer en la tentación de que también deberían de ser suficientes para demostrarlo (invita al aficionado).
- Relacionado con lo anterior mucha gente que se aproxima al Teorema no sabe más que esas matemáticas básicas; de ahí que renuncie desde el principio a pruebas que usen cosas más avanzadas.
- La mitología sobre la anotación que dejo Fermat: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”, alimenta la idea de que debería de existir una demostración razonablemente sencilla.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 10 Diciembre, 2019, 16:35 »


Hola, geómetracat.


Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

Digo lo que Luis.

La única que conozco yo de Euler es la que explica Argentinator aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76112#msg76112

Se que hay otra de Gauss, que también utiliza factorización de enteros gaussianos; sin números complejos, si hay alguna, no la conozco (no digo que no la haya). La de n=4 sí, ésa es muy corta y sencilla, sólo con divisibilidad.


Cita
Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados. Supongo que depende de la persona, pero a mí siempre me han parecido mucho más iluminadoras las demostraciones que usan conceptos o construcciones más avanzados pero se pueden describir de manera sucinta, que las que se basan en hacer sustituciones y usar argumentos de divisibilidad sin parar hasta llegar a alguna contradicción. Con estas últimas no tengo la sensación de comprender realmente qué es lo que está pasando, cosa que sí me pasa con las primeras. Por ejemplo, me parece mucho más iluminadora la prueba de Kummer para primos regulares (que además sirve para infinitos exponentes) que la de Euler para [texx]n=3[/texx].

También digo lo que Luis, pero en este caso en primera persona, porque yo soy un aficionado :sonrisa:

Aunque estudié los complejos en el colegio y los usé algo lo poco estuve en la facultad de físicas, la verdad es que para manejar los ciclotómicos hay que practica con ellos. El día que Carlos Ivorra los explicó (junto con la demostración n=3 de Gauss) me prometí ponerme con ellos... pero lo fui dejando. En cambio, otros sí los estudiaron, como Fernando Moreno, precisamente, que intenta demostraciones donde los utiliza.

No aspiro en sí a demostrarlo yo (como sí es el caso y de otros aficionados) soy consciente de la dificultad y de que alguien tan despistado como yo lo tiene especialmente difícil, pero me parece atractiva la idea que alguien lo logre utilizando sólo números reales y teoría de números corriente, no analítica.

Saludos; y muchas gracias por leerme.
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« Respuesta #9 : 10 Diciembre, 2019, 16:57 »

¿Quieres decir que hay pruebas completamente elementales del Teorema de Fermat para [texx]n=3[/texx]? Yo nunca he visto una; es cierto que en teoría uno podría al menos trampear algún razonamiento que use enteros de Gauss o cuerpos ciclotómicos de forma oculta; pero nunca lo he visto escrito. ¿Tu si? ¿Sabes alguna referencia?.

Pues igual me equivoco, pero juraría haber leído alguna vez una prueba elemental de Fermat para [texx]n=3[/texx]. Ahora mismo no sé referencia, pero lo buscaré y pondré por aquí si lo encuentro (pero mira más abajo la respuesta a feriva).

Cita
Yo creo que hay varios motivos:

- Las matemáticas necesarias para entender el enunciado del Teorema de Fermat son muy básicas; y eso invita a caer en la tentación de que también deberían de ser suficientes para demostrarlo (invita al aficionado).
- Relacionado con lo anterior mucha gente que se aproxima al Teorema no sabe más que esas matemáticas básicas; de ahí que renuncie desde el principio a pruebas que usen cosas más avanzadas.
- La mitología sobre la anotación que dejo Fermat: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”, alimenta la idea de que debería de existir una demostración razonablemente sencilla.

Sí, puedo entender esos motivos. Solamente era una reflexión general, a mí las demostraciones elementales suelen aportarme menos. También es verdad que depende de la persona, a mí estas cosas se me dan bastante mal pero hay gente que es un hacha dando argumentos difíciles pero elementales.
Sobre el último punto, entiendo el romanticismo, pero con lo famoso que es el problema y la historia que tiene detrás, yo pondría la mano en el fuego (e imagino que tú también) porque la demostración que creía tener Fermat era incorrecta.

Mientras escribía esto ha contestado feriva:

Digo lo que Luis.

La única que conozco yo de Euler es la que explica Argentinator aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76112#msg76112

Se que hay otra de Gauss, que también utiliza factorización de enteros gaussianos; sin números complejos, si hay alguna, no la conozco (no digo que no la haya). La de n=4 sí, ésa es muy corta y sencilla, sólo con divisibilidad.

Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html
Cita
También digo lo que Luis, pero en este caso en primera persona, porque yo soy un aficionado :sonrisa:

Aunque estudié los complejos en el colegio y los usé algo lo poco estuve en la facultad de físicas, la verdad es que para manejar los ciclotómicos hay que practica con ellos. El día que Carlos Ivorra los explicó (junto con la demostración n=3 de Gauss) me prometí ponerme con ellos... pero lo fui dejando. En cambio, otros sí los estudiaron, como Fernando Moreno, precisamente, que intenta demostraciones donde los utiliza.

No aspiro en sí a demostrarlo yo (como sí es el caso y de otros aficionados) soy consciente de la dificultad y de que alguien tan despistado como yo lo tiene especialmente difícil, pero me parece atractiva la idea que alguien lo logre utilizando sólo números reales y teoría de números corriente, no analítica.

Y, ¿no te gustaría invertir algo del tiempo que dedicas a intentar demostrar Fermat a aprender algo de teoría de anillos? Desde luego, cada uno es libre de hacer lo que quiera con su tiempo, pero yo creo que invertir un poco en aprender técnicas nuevas vale la pena. Incluso aunque estés interesado en pruebas elementales te da nuevas formas de ver las cosas, lo que siempre ayuda.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #10 : 10 Diciembre, 2019, 18:22 »


Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Sí, pero es sólo una parte de la demostración. Previamente a eso, creo recordar, hay que demostrar que los dos factores son coprimos; según mis letras, los factores son [texx](2a)
 [/texx] y [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] (con a y b, en vez de p y q, que usa ahí) y, si son copirmos, como el producto de ellos es [texx]z^{3}
 [/texx], cada factor es en hipótesis un cubo.

Cita
Y, ¿no te gustaría invertir algo del tiempo que dedicas a intentar demostrar Fermat a aprender algo de teoría de anillos?

En cuanto a anillos, pues sí me gusta, de vez en vez miro cosas y, así, he aprendido un poco algún rudimento sobre [texx]Z_{n}
 [/texx], cosas básicas y prácticas (de estar en el foro más que nada, las he aprendido sin esfuerzo). La teoría con muchos símbolos y eso... me cuesta un poco de esfuerzo seguirla, en parte porque no tengo la vista muy allá y en parte por una cuestión de retentiva y concentración; no la tenía de joven, imagina ahora (bueno, ya se ve cada vez que intervengo, no hace falta imaginar nada). Pero tampoco descarto que un día me dé por ponerme a estudiar el anillo [texx]Z[/texx] o algo de ese estilo; yo soy muy bohemio, cualquier cosa es posible (excepto que deje de equivocarme).

Saludos.

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Fernando Moreno
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« Respuesta #11 : 10 Diciembre, 2019, 18:42 »

Hola. Yo sólo puedo contar mi caso. Mis motivaciones son en primer lugar las 3 que pone Luis: Que puedo entender el enunciado, que sólo conozco matemáticas básicas y el mito de la demostración maravillosa de Fermat (esto último lo de menos). Y añado 2 más. Me gustaría saber, en un sentido profundo, por qué es imposible que habiendo infinitos números enteros e infinitas posibilidades de relacionarlos en una suma con exponentes, no tiene la ecuación solución. De esto tengo la mitad (o más) del camino recorrido. Y por último, que mi modo de aprender algo es intentando resolver un problema (difícil) concreto. A mí me ponen delante un manual de teoría de anillos y no soy capaz de terminarlo. Necesito una motivación concreta y fuerte. ¿Para resolver qué?..

Dicho esto, tengo que matizarlo. Las motivaciones, en general, son muy poco razonables. No se me escapa que todas y cada una de las que he puesto son muy poco o nada defendibles y no pueden ser un modelo de nada. Lo ideal para aprender no es nada de lo que he puesto. Lo sé. Pero es lo que me causa adherencia a las matemáticas. Puedo darle muchas vueltas a una cosa, como en este tema y sin embargo siempre tengo la sensación de avanzar algo, poco, pero algo. El día que perciba con claridad que el avance es 0 lo dejaré. Espero geómetracat haber satisfecho algo tu curiosidad. Algo que mereces sobradamente. Un cordial saludo,
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  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
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« Respuesta #12 : 10 Diciembre, 2019, 20:03 »


Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html



¡Síiii! es verdad, lo he estado mirando y parece que sí; nunca me había fijado en ese enlace porque estaba en inglés y me daba pereza seguir lo que decía. Mañana lo miraré más despacio, que hay varias demostraciones asociadas.

Muchas gracias, Geómetrac.
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« Respuesta #13 : 10 Diciembre, 2019, 21:31 »

He estado mirando un poco y me parece que la demostración del blog no es correcta. El paso de 7 a 8 en el link que dí no está justificado. También he estado mirando un poco de literatura y parece que yo estaba equivocado: no he encontrado ningún libro donde no usen [texx]\sqrt{-3}[/texx] en algún momento. El argumento elemental que recordaba haber visto alguna vez me parece que era el que dan en el libro de Edwards "Fermat's Last Theorem: A genetic introduction to algebraic number theory", que sí que usa complejos, aunque me da la sensación que se debería poder reescribir la misma demostración sin usar [texx]\sqrt{-3}[/texx] explícitamente.

Fernando Moreno, gracias por compartir tus motivaciones. Precisamente, una de las cosas que decía es que para mí (y hago énfasis en que esto es algo personal) aporta mucha más comprensión en sentido profundo una demostración del estilo de la de Wiles, que una que se dedique a hacer juegos con naturales. Pero insisto es que esto es algo personal, y para otra gente ocurrirá lo contrario.
Por otro lado, estoy bastante de acuerdo con lo demás. En particular que una buena manera de aprender es enfrentarse a un problema difícil, y que una motivación concreta es muy buena para aprender teoría. Pero es que precisamente buena parte de la teoría de anillos (y la teoría algebraica de números) se desarrollaron para atacar el teorema de Fermat, así que qué mejor motivación para aprender que la misma que tenían los que desarrollaron la teoría.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #14 : 11 Diciembre, 2019, 04:50 »

Hola, geómetracat

He estado mirando un poco y me parece que la demostración del blog no es correcta. El paso de 7 a 8 en el link que dí no está justificado.


Efectivamente. Y ese tipo de paso me ha recordado que tenía escrita una cosa para preguntar sobre la demostración de la fórmula de Cardano; hay algo parecido. Después se me olvidó, ahora no sé dónde lo puse.

Muchas gracias.

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« Respuesta #15 : 11 Diciembre, 2019, 08:03 »


Hola a todos.

Encuentro en el blog que enlazó Geómetracat que Euler demuestra lo siguiente:

El producto de los números de la forma [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] tienen la misma forma:

[texx](a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
 [/texx]

[texx]a^{2}(x^{2}+3y^{2})+3b^{2}(x^{2}+3y^{2})=
 [/texx]

[texx]a^{2}x^{2}+3a^{2}y^{2}+3b^{2}x^{2}+9b^{2}y^{2}=
 [/texx]

[texx]a^{2}x^{2}-6abxy+9b^{2}y^{2}+3a^{2}y^{2}+6abxy+3b^{2}x^{2}=
 [/texx]

[texx](ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
 [/texx]

(estas letras que uso son aparte de las demás, es sólo para mostrar esto).

A partir de aquí, ya con las letras con signficado a parte.

Teníamos:

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx]

Elevando al cuadrado a ambos lados existen enteros x,y tales que

[texx](2a(a^{2}+3b^{2}))^{2}=(z^{3})^{2}\Rightarrow
 [/texx]

[texx]4a^{2}(x^{2}+3y^{2})=(z^{3})^{2}
 [/texx]

Entonces [texx](x^{2}+3y^{2})
 [/texx] es un cuadrado al dividir entre [texx]4a^{2}
 [/texx] la ecuación.

Seguidamente, necesito expresarlo así

[texx]x^{2}+3y^{2}=x^{2}+y^{2}+2y^{2}
 [/texx].

Y haciendo [texx]{\color{blue}2y=p}
 [/texx], queda

[texx]x^{2}+3y^{2}=x^{2}+y^{2}+py
 [/texx]

También es un cuadrado, obviamente, esto

[texx](x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy
 [/texx]

y podemos escribirlo igualmente en función de p:

[texx](x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+px
 [/texx]

Entonces

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-px+py
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-p(x+y)
 [/texx]

Ahora, sacando factor común (x+y)

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)\cdot[(x+y)-p]
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)\cdot(x+y-p)
 [/texx]

como [texx]{\color{blue}p=2y}
 [/texx], tendremos

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)\left(x-y\right)
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=x^{2}-y^{2}
 [/texx]

[texx]3y^{2}=-y^{2}
 [/texx]

[texx]3=-1
 [/texx]

(perdón por adelantado en caso de que haya algún error; prometo que lo he repasado varias veces y no veo nada).

Saludos.
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« Respuesta #16 : 11 Diciembre, 2019, 08:28 »

El fallo está aquí:


[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-px+py
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-p(x{\color{red} +}y)
 [/texx]

El signo que está en rojo debería ser un menos en vez de un más.

De todas formas, el intento estaba condenado desde el principio. Pretendes llegar a una contradicción usando únicamente que [texx]x^2+3y^2[/texx] es un cuadrado. Pero eso es imposible porque hay números de esa forma que sí que son cuadrados (por ejemplo, [texx]4=1^3+3\cdot 1^3[/texx]).
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Luis Fuentes
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« Respuesta #17 : 11 Diciembre, 2019, 08:38 »

Hola

De todas formas, el intento estaba condenado desde el principio. Pretendes llegar a una contradicción usando únicamente que [texx]x^2+3y^2[/texx] es un cuadrado. Pero eso es imposible porque hay números de esa forma que sí que son cuadrados (por ejemplo, [texx]4=1^3+3\cdot 1^3[/texx]).

Peor aun, porque en lo que hace ni siquiera usa de manera efectiva que [texx]x^2+3y^2[/texx] sea un cuadrado. Simplemente usa unas identidades algebraicas, hasta que comete un error.
 
feriva: el tipo de reflexión que apunta geómetracat es importante para evitar perder claramente el tiempo en cuentas que no van a llegar a nada. Es bueno pararse a pensar que hipótesis estamos usando en cada argumento y si es esperable que sólo con esas hipótesis se pueda llegar a contradicción alguna. Llevo revisadas ya muchos intentos de demostración del UTF en el foro; diría que al menos el 50% de ellas se caerían sólo con esa  observación, sin necesidad de encontrar el error de cuentas concreto.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #18 : 11 Diciembre, 2019, 08:56 »


Muchas gracias, Geómetracat y Luis.

Ciertamente no he usado que fuera un cuadrado; de hecho me di cuenta de eso, pero no veía el error del signo.

Pero aunque no usara que fuera un cuadrado, lo que veía es que tenía que, por una parte, esto era un cuadrado [texx]x^{2}+y^{2}+px
 [/texx], y esto también [texx]x^{2}+y^{2}+py
 [/texx]. Lo cual tiene una pinta muy difícil para que existan enteros distintos x e y. Evidentemente, si x=y, sí que existe; aunque no lo haya dicho, estaba descartando ese caso, se me olvidó mencionarlo. Y en esas dos formas de cuadrados poco conciliable estaba la motivación del intento.

Muchas gracias otra vez (lo que más me preocupa son los errores tontos que llevo cometiendo hace tiempo, más que los errores en la estrategia; y que miro y miro y no los veo. No es ya en estos intentos, es en cosas normales y antes no pasaba tanto pese a que siempre haya sido despistado).

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #19 : 11 Diciembre, 2019, 09:11 »

Hola

Pero aunque no usara que fuera un cuadrado, lo que veía es que tenía que, por una parte, esto era un cuadrado [texx]x^{2}+y^{2}+px
 [/texx], y esto también [texx]x^{2}+y^{2}+py
 [/texx]. Lo cual tiene una pinta muy difícil para que existan enteros distintos x e y. Evidentemente, si x=y, sí que existe; aunque no lo haya dicho, estaba descartando ese caso, se me olvidó mencionarlo. Y en esas dos formas de cuadrados poco conciliable estaba la motivación del intento.

En concreto es para [texx]p=2y[/texx], con lo cual [texx]x^2+y^2+\color{red}p\color{black}x=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2[/texx] siempre es un cuadrado y lo que estás diciendo es que "tiene una pinta muy difícil" que existan enteros distintos [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] tales que [texx]x^2+y^2+2y^2=x^2+3y^2[/texx] sea un cuadrado.

Y lo curioso es que previamente tu mismo demostraste que eso es muy fácil y tu mismo escribiste una forma de obtener ejemplos (no sólo, eso sino que en tu desarrollo [texx]x^2+3y^2[/texx].... ¡aparece precisamente como un cuadrado que podrías haber concretado sin más que dar valores a las letras!).

Probaste que el producto de dos números de la forma [texx]a^2+3b^2[/texx] vuelve a tener esa "estructura". Bueno pues el cuadrado de uno de tales números tiene esa estructura. En particular:

[texx](a^2+3b^2)^2=(a^2-3b^2)^2+3(2ab)^2[/texx]

Así que ya tienes una colección de ejemplos de eso que te tenía una pinta tan difícil:

[texx]x=|a^2-3b^2|[/texx]
[texx]y=2ab[/texx]
[texx]p=2y=4ab[/texx]

Saludos.

CORREGIDO (gracias manooooh)
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