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Autor Tema: Problema número decimales  (Leído 240 veces)
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Francois
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« : 09/12/2019, 13:14:26 pm »

Problema
[texx]\overline{ab},b_{(9)}=ba,\widehat{nmp}_{(7)}[/texx] donde [texx]\widehat{nmp}[/texx] indica un periódo puro de esas cifras.
Y me preguntan el valor de [texx]m+n+p[/texx].

Este problema aún no consigo resolverlo.
Cualquier ayuda estaré muy agradecido.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 09/12/2019, 14:45:44 pm »

Hola

Problema
[texx]\overline{ab},b_{(9)}=ba,\widehat{nmp}_{(7)}[/texx] donde [texx]\widehat{nmp}[/texx] indica un periódo puro de esas cifras.
Y me preguntan el valor de [texx]m+n+p[/texx].

Este problema aún no consigo resolverlo.
Cualquier ayuda estaré muy agradecido.

Si comparas la parte entera tienes que:

[texx]9a+b=7b+a
[/texx]

de donde [texx]3b=4a[/texx] y así [texx]b=4k[/texx] y [texx]a=3k[/texx].

Por ser cifras en base [texx]7[/texx], tienes que [texx]0\leq a,b<6[/texx] y por tanto [texx]k=1[/texx] y [texx]b=4[/texx], [texx]a=3[/texx].

Ahora sólo tienes que pasar [texx]4/9[/texx] a base [texx]7[/texx]:

[texx](4/9)\cdot 7=28/9=3+(1/9)[/texx]
[texx](1/9)\cdot 7=7/9=0+(7/9)[/texx]
[texx](7/9)\cdot 7=49/9=5+(4/9)[/texx]

Por tanto:

[texx]\dfrac{4}{9}=0.305305350\ldots_{7)}[/texx]

y así [texx]m+n+p=0+3+5=8.[/texx]

Saludos.
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robinlambada
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« Respuesta #2 : 09/12/2019, 15:14:26 pm »

Hola.
Problema
[texx]\overline{ab},b_{(9)}=ba,\widehat{nmp}_{(7)}[/texx] donde [texx]\widehat{nmp}[/texx] indica un periódo puro de esas cifras.
Y me preguntan el valor de [texx]m+n+p[/texx].

Este problema aún no consigo resolverlo.
Cualquier ayuda estaré muy agradecido.

Saludos.
La idea es que que primero pongas los decimales en forma de fracción.

[texx]ba,\widehat{nmp}_{(7)}=\displaystyle\frac{b7^4+a7^3+n7^2+m7^1+p-b7^1-a}{342}[/texx]

y [texx] \overline{ab},b_{(9)}=\displaystyle\frac{a9^2+b9+b}{9}[/texx]


y [texx] a9+b+\displaystyle\frac{b}{9}=\displaystyle\frac{7b(7^3-1)+a(7^3-1)+n7^2+m7^1+p}{342}[/texx]

 [texx] a9+b+\displaystyle\frac{b}{9}=7b+a+\displaystyle\frac{n7^2+m7^1+p}{342}[/texx] ya que [texx]7^3-1=342[/texx]

Iguala las partes enteras de las  expresiones y ten en cuenta que las incógnitas son naturales menores o iguales a 6.

De hay obtienes el número en base 9 y lo pasas a base 7

Saludos.

P.d: Se me adelanto Luis.  Lo dejo por que en la descomposición se ve claro que se pueden igualar las partes enteras.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
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