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Autor Tema: Demostración matrices. Ayuda  (Leído 114 veces)
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alcmena
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« : 04/12/2019, 05:08:35 pm »


Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 [texx] (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B) [/texx]

Gracias

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Bobby Fischer
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« Respuesta #1 : 04/12/2019, 05:18:27 pm »

Hola,

Desarrolla el primer miembro para llegar a [texx]A-BA^{-1}B[/texx].
Desarrolla el segundo miembro para llegar a lo mismo.

Si dos cosas son iguales a una tercera, entonces son iguales entre sí.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 04/12/2019, 05:21:01 pm »

Hola

Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 [texx] (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B) [/texx]

Tienes:

[texx](A+B)A^{-1}(A-B)=(AA^{-1}+BA^{-1})(A-B)=(I+BA^{-1})(A-B)=\\=A-B+BA^{-1}A-BA^{-1}B=A-B+B-BA^{-1}B=A-BA^{-1}B[/texx]

Haz el desarrollo análogo para el otro miembro y verás que te da lo mismo.

Saludos.

P.D. Se adelantó Bobby Fischer mientras escribía esto.
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feriva
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« Respuesta #3 : 04/12/2019, 05:46:57 pm »


Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 [texx] (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B) [/texx]

Gracias




Vaya, parece que las letras no están colocadas “ad hoc”, la ecuación parece no dejarse.

En estos casos siempre se puede recurrir al método de “hacerlo haciéndolo”; que no hay que pensar nada, sólo operar con paciencia hasta llegar al final:

EDITADO

Distributiva en lo azul

[texx]{\color{blue}(A+B)A^{-1}}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]{\color{magenta}(I+BA^{-1})}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

Distributiva otra vez

[texx]{\color{blue}(I+BA^{-1})(A-B)}=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]{\color{blue}(I+BA^{-1})A-(I+BA^{-1})B}=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]{\color{blue}(A+B)-(B+BA^{-1}B)}=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]A-BA^{-1}B=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

Distributiva al otro lado

[texx]A-BA^{-1}B=(A-B){\color{blue}A^{-1}}(A+B)
 [/texx]

[texx]A-BA^{-1}B=(I-BA^{-1})(A+B)
 [/texx]

[texx]A-BA^{-1}B=(I-BA^{-1}){\color{blue}(A+B)}
 [/texx]

[texx]A-BA^{-1}B={\color{blue}(I-BA^{-1})A+(I-BA^{-1})B}
 [/texx]

[texx]A-BA^{-1}B=A-B+B-BA^{-1}B
 [/texx]

[texx]A-BA^{-1}B=A-BA^{-1}B
 [/texx]


Saludos.
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robinlambada
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« Respuesta #4 : 04/12/2019, 06:51:36 pm »

Hola.

Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 [texx] (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B) [/texx]

Gracias




Vaya, parece que las letras no están colocadas “ad hoc”, la ecuación parece no dejarse.

En estos casos siempre se puede recurrir al método de “hacerlo haciéndolo”; que no hay que pensar nada, sólo operar con paciencia hasta llegar al final:

Distributiva en lo azul

[texx]{\color{blue}(A+B)A^{-1}}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]{\color{magenta}(I+BA^{-1})}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

Distributiva otra vez

[texx]{\color{blue}(I+BA^{-1})(A-B)}=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]{\color{blue}(I+BA^{-1})A-(I+BA^{-1})B}=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

[texx]A-B^{2}A^{-1}=(A-B)A^{-1}(A+B)
 [/texx]

Distributiva al otro lado

[texx]A-B^{2}A^{-1}=(A-B){\color{blue}A^{-1}}(A+B)
 [/texx]

[texx]A-B^{2}A^{-1}=(I-BA^{-1})(A+B)
 [/texx]

[texx]A-B^{2}A^{-1}=(I-BA^{-1}){\color{blue}(A+B)}
 [/texx]

[texx]A-B^{2}A^{-1}={\color{blue}(I-BA^{-1})A+(I-BA^{-1})B}
 [/texx]

[texx]A-B^{2}A^{-1}=A-B+B-B^{2}A^{-1}
 [/texx]

[texx]A-B^{2}A^{-1}=A-B^{2}A^{-1}
 [/texx]

Saludos.
feriva, lo tienes mal.
No siempre se cumple la propiedad conmutativa entre matrices.

En general [texx]A-B^{2}A^{-1}\neq{}A-BA^{-1}B[/texx]

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
feriva
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« Respuesta #5 : 04/12/2019, 07:44:53 pm »


feriva, lo tienes mal.


Muchas Gracias, Robin. Ya lo he corregido.

Saludos.

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alcmena
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« Respuesta #6 : 05/12/2019, 12:53:33 pm »

Muchas gracias a tod@s or vuestra ayuda!!
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