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Noticias: Homenaje a aladan
 
 
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Autor Tema: [texx]\mathcal{N}_x=\mathcal{N}_y\Longleftrightarrow \{x\}^c=\{y\}^c[/texx]  (Leído 57 veces)
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Bobby Fischer
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« : 04/12/2019, 04:56:45 pm »

Hola,

Sea [texx](X,\mathcal{T})[/texx] un espacio topológico y [texx]x,y\in X[/texx]. Probar que [texx]\mathcal{N}_x=\mathcal{N}_y[/texx] si y solo si [texx]\{x\}^c=\{y\}^c[/texx]
La c denota clausura. Lo he pensado bastante pero no lo consigo. Necesito orientación.

Gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 04/12/2019, 05:30:54 pm »

Hola


Sea [texx](X,\mathcal{T})[/texx] un espacio topológico y [texx]x,y\in X[/texx]. Probar que [texx]\mathcal{N}_x=\mathcal{N}_y[/texx] si y solo si [texx]\{x\}^c=\{y\}^c[/texx]
La c denota clausura. Lo he pensado bastante pero no lo consigo. Necesito orientación.

1) Supón que los dos puntos tienen los mismos entornos.

Veamos que [texx]\{x\}^c\subset \{y\}^c[/texx]. Si [texx]a\in \{x\}^c[/texx] dado [texx]U[/texx] cualquier abierto que contiene a [texx]a[/texx] también contiene a [texx]x[/texx]. Pero entonces [texx]U[/texx] es entorno de [texx]x[/texx] y por tanto también [texx]U[/texx] es entorno de [texx]y[/texx]. Luego [texx]a\in \{y\}^c[/texx].

Análogamente tienes la otra inclusión.

2) Supón que [texx]\{x\}^c=\{y\}^c[/texx]. Entonces dado [texx]U[/texx] entorno de [texx]x[/texx], como [texx]x\in \{y\}^c[/texx], [texx]U[/texx] también contiene a [texx]y[/texx], luego es entorno de [texx]y[/texx].

Y lo análogo para cualquier entorno de [texx]y[/texx].

Saludos.

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Bobby Fischer
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« Respuesta #2 : 04/12/2019, 09:55:00 pm »

Muchas gracias,

Saludos.
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