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Autor Tema: Demostar que si f es derivable in (a,b) y f′ es creciente, entonces f es convexa  (Leído 56 veces)
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galgarabel
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« : 04/12/2019, 04:11:44 pm »

Necesito ayuda con este ejercicio:


Una función [texx]f:[a,b]\to \Bbb R[/texx] es convexa si para todo [texx]x_1,x_2\in [a,b][/texx] con [texx]x_1 < x_2[/texx] se tiene que

[texx]\displaystyle\frac{f(x_2)−f(x_1)}{x_2−x_1} > \displaystyle\frac{f(x)−f(x_1)}{x−x_1},\quad \forall \color{red}x\in\color{black} [x_1,x_2][/texx]

Demostrar que si f es derivable en (a,b) y f′ es creciente, entonces f es convexa (en particular, si existe f″ y es estrictamente positiva, f es convexa).

Gracias de antemano.

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robinlambada
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« Respuesta #1 : 04/12/2019, 07:24:05 pm »

Hola:
Necesito ayuda con este ejercicio:


Una función [texx]f:[a,b]\to \Bbb R[/texx] es convexa si para todo [texx]x_1,x_2\in [a,b][/texx] con [texx]x_1 < x_2[/texx] se tiene que

[texx]\displaystyle\frac{f(x_2)−f(x_1)}{x_2−x_1} > \displaystyle\frac{f(x)−f(x_1)}{x−x_1},\quad \forall [x_1,x_2][/texx]
}
Demostrar que si f es derivable en (a,b) y f′ es creciente, entonces f es convexa (en particular, si existe f″ y es estrictamente positiva, f es convexa).

Gracias de antemano.


Falta aclarar que  [texx]x_1<x<x_2[/texx]

Se puede demostrar en 2 pasos.

1º demostrar que suponiendo f(x) en las condiciones anteriores y además [texx]f(x_1)=f(x_2)[/texx]

entonces [texx]f(x)<f(x_1)\forall{}x\in{}(x_1,x_2) [/texx]

Para ello puedes hacerlo por reducción al absurdo , (suponer que existe [texx]x_o: f(x_o)>f(x_1)[/texx]) al aplicar el teorema de Rolle ver que debe ser un máximo , que contradice que sea convexa.

2º Después aplicar este resultado para demostrar lo que quieres aplicándolo a [texx]g(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)-f(x_1)[/texx]  , tenemos que cumple las condiciones

de derivabilidad  de [texx]f(x)[/texx] y además [texx]g(x_1)=g(x_2)[/texx]

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
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