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Autor Tema: Número de aristas de un grafo r-regular y de L(G)  (Leído 120 veces)
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Julio_fmat
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« : 18 Noviembre, 2019, 01:05 »

Determine el número de aristas de un grafo [texx]r[/texx]-regular con [texx]n[/texx] vértices y del grafo de línea de un grafo [texx]G.[/texx]

Hola, en ambos casos no es [texx]\dfrac{n(n-1)}{2}[/texx]?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 18 Noviembre, 2019, 06:24 »

Hola

Determine el número de aristas de un grafo [texx]r[/texx]-regular con [texx]n[/texx] vértices y del grafo de línea de un grafo [texx]G.[/texx]

Hola, en ambos casos no es [texx]\dfrac{n(n-1)}{2}[/texx]?

No.

Recuerda que:

[texx]m=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{v\in V}deg(v)[/texx]

En un grafo [texx]r[/texx]-regular todos los vértices tienen grado [texx]r[/texx]. Usando la fórmula anterior, si tenemos [texx]n[/texx] vértices el número de aristas es....

En cuanto al grafo de línea [texx]L(G)[/texx] de un grafo [texx]G[/texx] es aquel cuyos vértices son las aristas de [texx]G[/texx] y se consideran anexas aquellas que tienen un vértice común. De esta forma cara arista de [texx]L(G)[/texx] corresponde a dos aristas [texx]e,e'[/texx] con un vértice común que queda determinado de manera inequívoca como [texx]e\cap e'.[/texx]

Entonces por cada vértice [texx]v\in G[/texx], hay tantas aristas de [texx]L(G)[/texx] que se intersecan en [texx]v[/texx], como pares de vértices distintos anexos a [texx]v.[/texx] Si [texx]v[/texx] tiene grado [texx]deg(G)[/texx] hay [texx]\displaystyle\binom{deg_G(v)}{2}[/texx] formas de emparejar esos vértices. Por tanto el número de aristas de [texx]L(G)[/texx] es:

[texx]\displaystyle\sum_{v\in V(G)}\displaystyle\binom{deg_G(v)}{2}[/texx]

Saludos.
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