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Autor Tema: Probabilidad condicional  (Leído 151 veces)
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Julio_fmat
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« : 11 Noviembre, 2019, 04:28 »

Sea [texx]N[/texx] un numero aleatorio del lanzamiento de un dado. Defina [texx]A_i[/texx] el evento tal que [texx]N=i[/texx] y asuma que [texx]P(A_i)=2^{-i}, i\ge 1.[/texx] La suma de los resultados de los [texx]N[/texx] lanzamientos es [texx]S.[/texx] Encuentre la probabilidad de que [texx]N=2[/texx] dado que [texx]S=4.[/texx]

Hola, se plantear la probabilidad condicional en este caso, mi duda es sobre como calcular las probabilidades [texx]P(S=4| N=i)[/texx] para [texx]i=1,..., 4.[/texx] Tenemos

[texx]P(N=2| S=4)=\dfrac{P(N=2 \cap S=4)}{P(S=4)}=\dfrac{P(S=4| N=2)P(N=2)}{\displaystyle\sum_{i=1}^4 P(S=4| N=i)P(N=i)}= \cdots [/texx]
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« Respuesta #1 : 11 Noviembre, 2019, 04:52 »

Sea [texx]N[/texx] un numero aleatorio del lanzamiento de un dado. Defina [texx]A_i[/texx] el evento tal que [texx]N=i[/texx] y asuma que [texx]P(A_i)=2^{-i}, i\ge 1.[/texx] La suma de los resultados de los [texx]N[/texx] lanzamientos es [texx]S.[/texx] Encuentre la probabilidad de que [texx]S=4[/texx] dado que [texx]N[/texx] es par.

Hola, tenemos en este caso que [texx]P(S=4| N \text{ es par})=\dfrac{P(S=4 \cap N \text{ es par})}{P(N \text{ es par})}[/texx]

Mi duda es que mi Profesor hizo aparecer una suma geometrica en el denominador, que no se de donde sale...
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 11 Noviembre, 2019, 06:06 »

Hola

Sea [texx]N[/texx] un numero aleatorio del lanzamiento de un dado. Defina [texx]A_i[/texx] el evento tal que [texx]N=i[/texx] y asuma que [texx]P(A_i)=2^{-i}, i\ge 1.[/texx] La suma de los resultados de los [texx]N[/texx] lanzamientos es [texx]S.[/texx] Encuentre la probabilidad de que [texx]N=2[/texx] dado que [texx]S=4.[/texx]

El enunciado no está muy bien redactado. Para que tenga sentido [texx]N[/texx] debe de ser el número de dados que se lanzan o el número de lanzamientos de un dado.

Cita
Hola, se plantear la probabilidad condicional en este caso, mi duda es sobre como calcular las probabilidades [texx]P(S=4| N=i)[/texx] para [texx]i=1,..., 4.[/texx] Tenemos

[texx]P(N=2| S=4)=\dfrac{P(N=2 \cap S=4)}{P(S=4)}=\dfrac{P(S=4| N=2)P(N=2)}{\displaystyle\sum_{i=1}^4 P(S=4| N=i)P(N=i)}= \cdots [/texx]

Ahora:

[texx]P(S=4|N=1)=\textsf{probabilidad de obtener un $4$ en una tirada}=\dfrac{1}{6}[/texx]

[texx]P(S=4|N=2)=\textsf{probabilidad de obtener un $4$ en dos tiradas}=3\cdot \dfrac{1}{6^2}[/texx] (ya que las opciones son [texx]1+3=2+2=3+1[/texx])

[texx]P(S=4|N=3)=\textsf{probabilidad de obtener un $4$ en tres tiradas}=3\cdot \dfrac{1}{6^3}[/texx] (ya que las opciones son [texx]1+1+2=1+2+1=2+1+1[/texx])

[texx]P(S=4|N=4)=\textsf{probabilidad de obtener un $4$ en cuatro tiradas}=\dfrac{1}{6^4}[/texx] (ya que las opciones son [texx]1+1+1+1=4[/texx])

En general [texx]P(S=s|N=n)[/texx] sería el número de soluciones naturales de la ecuación:

[texx]x_1+x_2+\ldots+x_n=s[/texx]

con [texx]x_i\leq 6[/texx], dividido entre [texx]6^n[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #3 : 11 Noviembre, 2019, 06:10 »

Hola

Sea [texx]N[/texx] un numero aleatorio del lanzamiento de un dado. Defina [texx]A_i[/texx] el evento tal que [texx]N=i[/texx] y asuma que [texx]P(A_i)=2^{-i}, i\ge 1.[/texx] La suma de los resultados de los [texx]N[/texx] lanzamientos es [texx]S.[/texx] Encuentre la probabilidad de que [texx]S=4[/texx] dado que [texx]N[/texx] es par.

Hola, tenemos en este caso que [texx]P(S=4| N \text{ es par})=\dfrac{P(S=4 \cap N \text{ es par})}{P(N \text{ es par})}[/texx]

Mi duda es que mi Profesor hizo aparecer una suma geométrica en el denominador, que no se de donde sale...

He combinado esta pregunta con la anterior porque claramente se refieren al mismo problema.

La probabilidad de que [texx]N[/texx] sea par es:

[texx]P(N=2)+P(N=4)+P(N=6)+\ldots=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}P(N=2k)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}2^{-2k}=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}4^{-k}=\dfrac{1/4}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13 Noviembre, 2019, 10:04 »

Muchas Gracias, me ha quedado claro el primer problema. Pero tengo duda con el segundo, por ejemplo, ¿porque no puede ser [texx]N=6[/texx]? Ya que se tiene

[texx]\begin{eqnarray*}
P(S=4| N \text{ es par})&=&\dfrac{P(S=4 \cap N \text{ es par})}{P(N \text{ es par})}\\
&=&\dfrac{P(S=4 \cap N=2)+ P(S=4 \cap N=4)}{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(N=2k)}\\
\end{eqnarray*}
[/texx]
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« Respuesta #5 : 13 Noviembre, 2019, 10:12 »

Hola

Muchas Gracias, me ha quedado claro el primer problema. Pero tengo duda con el segundo, por ejemplo, ¿porque no puede ser [texx]N=6[/texx]? Ya que se tiene

[texx]\begin{eqnarray*}
P(S=4| N \text{ es par})&=&\dfrac{P(S=4 \cap N \text{ es par})}{P(N \text{ es par})}\\
&=&\dfrac{P(S=4 \cap N=2)+ P(S=4 \cap N=4)}{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(N=2k)}\\
\end{eqnarray*}
[/texx]

Porque si tiras seis dados como mínimo las seis tiradas suman [texx]6[/texx], es imposible que sumen [texx]4[/texx]. Es decir:

[texx]P(S=4|N=k)=0[/texx] si [texx]k>4[/texx]

Saludos.
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