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Autor Tema: Determinando el espacio dual del espacio de Sobolev general.  (Leído 69 veces)
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lindtaylor
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« : 10/11/2019, 21:00:08 »

Hola muy buenas a todos.

Me gustaría ver porqué el dual del espacio de Sobolev [texx]H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \text{es} H^{-s,p'}(\mathbb{R}^n)[/texx] con [texx]1/p+1/{p'}=1.[/texx]

Sé que la justificación es debido al "dual pairing"[texx]<u,v>_{H^{-s,p'}\times H^{s,p}}:=<J_{-s}u,J_{s}v>_{L^{p'}\times L^p}[/texx] con [texx]J_{s}[/texx] el operador de Bessel, junto a una proposición que viene del álgebra lineal que dice:

Prop. Sean [texx]V,W [/texx] espacios vectoriales de dimensión finita. El "pairing" [texx]<,>:V\oplus W\to \mathbb{R}[/texx] es no degenerado si y sólo si la función [texx]v\mapsto <v,>[/texx]  define un isomorfismo [texx]V\to W^{\ast}[/texx] con [texx]W^{\ast}[/texx] el espacio dual de [texx]W[/texx].


Mi problema es ver que ese "dual pairing" sea no degenerado, es decir, si [texx]<u,v>=0[/texx] para todo [texx]w\in W[/texx] entonces[texx] v=0 [/texx]pero no sé como interpretar [texx]<J_{-s}u,J_{s}v>_{L^{p'}\times L^p}[/texx]  (Ejemplo, sé que [texx]<f,g>_{L^2}=\int f(x)g(x)dx[/texx] pero no sé como interpretar [texx]<f,g>_{L^{p'}\times L^{p}}=\int ¿?dx[/texx].

Desde ya muchas gracias.
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