20/11/2019, 08:52:15 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Cartas  (Leído 158 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Julio_fmat
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.931



Ver Perfil WWW
« : 09/11/2019, 01:23:54 am »

Supongamos que [texx]10[/texx] cartas son numeradas del [texx]1[/texx] al [texx]10.[/texx] Las cartas son retiradas una a la vez de forma aleatoria y sin reposicion hasta retirar el primer numero par. Contar el numero de retiradas necesarias.

Hola, como podemos hacer este problema?
En línea

"Haz de las Matemáticas tu pasión".
sugata
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.324


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 09/11/2019, 04:08:26 am »

¿6?
Si las cinco primeras son impares (1,3,5,7,9), la sexta debe ser par..... ¿No?
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.421


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 09/11/2019, 06:02:01 am »

Hola

Supongamos que [texx]10[/texx] cartas son numeradas del [texx]1[/texx] al [texx]10.[/texx] Las cartas son retiradas una a la vez de forma aleatoria y sin reposicion hasta retirar el primer numero par. Contar el numero de retiradas necesarias.

¿El enunciado está así redactado? En caso afirmativo me parece un horror.

Si a lo que se refiere es al número mínimo de retiradas necesarias para garantizar que se obtiene un número par, como dice sugata serían [texx]6[/texx] retiradas.

Pero sospecho que se refiere al valor esperado de la variable aleatoria [texx]X=[/texx]número de retiradas necesarias para sacar un número par.

Observa que si se saca el primer [texx]k[/texx] en el puesto [texx]k[/texx], quiere decir que en las [texx]k-1[/texx] primeras cartas han salido impares y en la [texx]k[/texx]-ésima un par.

Los casos totales para extraer [texx]k[/texx] cartas sin reposición son:

[texx]T(k)=10\cdot 9\cdot \ldots\cdot (10-k+1)=\dfrac{10!}{\color{red}(10-k)\color{black}!}[/texx]

Los casos en los que apareció de última el primer par son:

[texx]F(k)=5\cdot 4\cdot \ldots\cdot (5-(k-1)+1)\cdot 5=\dfrac{5\cdot 5!}{\color{red}(6-k)!\color{black}}[/texx]

Por tanto:

[texx]P(X=k)=\dfrac{F(k)}{T(k)}[/texx]

Ahora calcula la esperanza. Todo esto supuesto que sea esta la interpretación del problema.

Saludos.

CORREGIDO
En línea
sugata
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.324


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 09/11/2019, 06:42:06 am »

Hola

Supongamos que [texx]10[/texx] cartas son numeradas del [texx]1[/texx] al [texx]10.[/texx] Las cartas son retiradas una a la vez de forma aleatoria y sin reposicion hasta retirar el primer numero par. Contar el numero de retiradas necesarias.

¿El enunciado está así redactado? En caso afirmativo me parece un horror.

Si a lo que se refiere es al número mínimo de retiradas necesarias para garantizar que se obtiene un número par, como dice sugata serían [texx]6[/texx] retiradas.

Pero sospecho que se refiere al valor esperado de la variable aleatoria [texx]X=[/texx]número de retiradas necesarias para sacar un número par.

Observa que si se saca el primer [texx]k[/texx] en el puesto [texx]k[/texx], quiere decir que en las [texx]k-1[/texx] primeras cartas han salido impares y en la [texx]k[/texx]-ésima un par.

Los casos totales para extraer [texx]k[/texx] cartas sin reposición son:

[texx]T(k)=10\cdot 9\cdot \ldots\cdot (10-k+1)=\dfrac{10!}{k!}[/texx]

Los casos en los que apareció de última el primer par son:

[texx]F(k)=5\cdot 4\cdot \ldots\cdot (5-(k-1)+1)\cdot 5=\dfrac{5\cdot 5!}{(k-1)!}[/texx]

Por tanto:

[texx]P(X=k)=\dfrac{F(k)}{T(k)}[/texx]

Ahora calcula la esperanza. Todo esto supuesto que sea esta la interpretación del problema.

Saludos.

Me parecía demasiado fácil, pero el enunciado parece que es lo que pide.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.543



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 09/11/2019, 09:40:07 am »



Ahora calcula la esperanza.


Hola, Luis. Yo no sé hacer lo de la esperanza, pero a tenor del significado coloquial de la palabra he hecho una estimación (sin usar probabilidad) y quiero saber si me acerco a lo que da el resultado; me salen a retirar 3 cartas y media, ¿podría ser más o menos?

Saludos.
En línea

Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.421


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 09/11/2019, 02:41:03 pm »

Hola

Hola, Luis. Yo no sé hacer lo de la esperanza, pero a tenor del significado coloquial de la palabra he hecho una estimación (sin usar probabilidad) y quiero saber si me acerco a lo que da el resultado; me salen a retirar 3 cartas y media, ¿podría ser más o menos?

Pues no. Si lo piensas un poco no tiene sentido ese resultado. Está claro que la probabilidad de que a la primera salga par es [texx]1/2[/texx]. Entonces en el peor de los casos la probabilidad de que salga al final, en el sexto intento, sería [texx]1/2[/texx]. Con lo que la esperanza tendría como cota superior que no alcanza:ç

[texx]1\cdot \dfrac{1}{2}+6\cdot \dfrac{1}{2}=3.5[/texx]

Tengo algo de prisa ahora pero la esperanza de verdad da algo menos de [texx]2[/texx].

Saludos.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.543



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 09/11/2019, 04:38:27 pm »



Pues no. Si lo piensas un poco no tiene sentido ese resultado. Está claro que la probabilidad de que a la primera salga par es [texx]1/2[/texx]. Entonces en el peor de los casos la probabilidad de que salga al final, en el sexto intento, sería [texx]1/2[/texx]. Con lo que la esperanza tendría como cota superior que no alcanza:ç

[texx]1\cdot \dfrac{1}{2}+6\cdot \dfrac{1}{2}=3.5[/texx]

Tengo algo de prisa ahora pero la esperanza de verdad da algo menos de [texx]2[/texx].

Saludos.


Muchas gracias, Luis.

Es que el tipo de dato en el que pensaba, en cuanto a concepción o idea, no debe de tener nada que ver con la esperanza (pero a eso jugaba, a ver si acertaba).

Había pensado en que tenía que ser menor que 6 y en que tendría que tener el mismo valor para el caso de los impares (no veo que cambie nada que pueda afectar). La cantidad de cartas a sacar sería entonces como una “zona” más probable para que saliera una carta de cada clase, par e impar. Como hay seis tipos de casos posibles (sacar una carta par a la primera, sacarla a la segunda... etc, hasta sacarla a la sexta) calculé la media aritmética; sumando las cantidades de extracciones de cada caso, [texx]\dfrac{6(6+1)}{2}=21
 [/texx] y dividendo por la cantidad de casos, 6. Y de ahí el 3,5.

Supuse que así, por el término medio de las extracciones, si el experimento se repitiera muchas veces, entonces cada 3 veces y media saldrían, en muchas ocasiones dos cartas de distinta clase; siendo cualquier cantidad por debajo de ésta una “zona más peligrosa”, donde se podría dar con más frecuencia el sacar cartas de una sola clase seguidas (esto es lo que intuyo que pasaría, pero, como no lo he recreado en un programa ni nada, no sé si acierto con la intuición)

Ya imaginaba que exactamente no iba a ser igual, sin embargo, sí pensé que el valor se podría parecer; y no se parece. Aunque, también tengo que decir, que estuve dudando entre dividir entre 2 el valor, ya que, 3,5 sería según esto la “zona probable” para empezar a tener una carta par y otra impar (suponiendo que eso sea como digo) y entonces hubiera dicho un valor más cercano al que dices, sería [texx]\dfrac{3,5}{2}=1,75
 [/texx]; pese a que habría seguido sin tener nada que ver con la verdadera idea de esperanza matemática ni con el verdadero cálculo.

Ten en cuenta que estoy más perdido que un pulpo en un garaje, nunca he estudiado nada sobre variable aleatoria ni me había preocupado antes por ello; ahora mismo, precisamente, he buscado algunas páginas en internet, ya sólo me falta leerlas y estudiarlas un poco...

*Muchas gracias otra vez; cuando no tengas tiempo no me hagas ni caso, que mis preguntas no son urgentes.

Saludos.
En línea

Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.421


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 10/11/2019, 06:58:11 am »

Hola

Es que el tipo de dato en el que pensaba, en cuanto a concepción o idea, no debe de tener nada que ver con la esperanza (pero a eso jugaba, a ver si acertaba).

El concepto de esperanza matemática es muy intuitivo y es el que tienes. Lo que pasa es que luego has razona mal.

La esperanza es el número al que tiende la media si realizamos "muchos" experimento. Es decir si haces 1000 veces el juego que se propone en el enunciado y vas anotando en que extracción salió la primera carta par y después haces la medida de los 1000 resultados debería de parecerse a la esperanza teórica.

Matemáticamente en nuestro caso es:

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^6{}k\cdot P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^6{}\dfrac{k\cdot 5\cdot 5!(10-k)!}{10!(6-k)!}=\displaystyle\sum_{k=1}^6\dfrac{k\cdot 5\cdot 5!4!(10-k)!}{10!4!(6-k)!}=\dfrac{1}{\displaystyle\binom{10}{5}}\displaystyle\sum_{k=1}^6k\cdot \displaystyle\binom{10-k}{6-k}=\\=[/texx]

[texx]=\dfrac{1}{\displaystyle\binom{10}{5}}\displaystyle\sum_{n=0}^5(n+1)\cdot \displaystyle\binom{9-n}{5-n}=
\dfrac{1}{\displaystyle\binom{10}{5}}\displaystyle\sum_{n=0}^5\displaystyle\binom{n+1}{n}\cdot \displaystyle\binom{9-n}{5-n}=\dfrac{\displaystyle\binom{11}{5}}{\displaystyle\binom{10}{5}}=\dfrac{11}{6}=1.8333\ldots[/texx]

Saludos.

P.D. Es un caso particular (con un matriz) de la distribución hipergeométrica negativa:

https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_hypergeometric_distribution
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.543



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 10/11/2019, 07:32:03 am »


Muchas gracias, Luis.


El concepto de esperanza matemática es muy intuitivo y es el que tienes. Lo que pasa es que luego has razona mal.

La esperanza es el número al que tiende la media si realizamos "muchos" experimento. Es decir si haces 1000 veces el juego que se propone en el enunciado y vas anotando en que extracción salió la primera carta par y después haces la medida de los 1000 resultados debería de parecerse a la esperanza teórica.

Matemáticamente en nuestro caso es:

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^6{}k\cdot P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^6{}\dfrac{k\cdot 5\cdot 5!(10-k)!}{10!(6-k)!}=\displaystyle\sum_{k=1}^6\dfrac{k\cdot 5\cdot 5!4!(10-k)!}{10!4!(6-k)!}=\dfrac{1}{\displaystyle\binom{10}{5}}\displaystyle\sum_{k=1}^6k\cdot \displaystyle\binom{10-k}{6-k}=\\=[/texx]

[texx]=\dfrac{1}{\displaystyle\binom{10}{5}}\displaystyle\sum_{n=0}^5(n+1)\cdot \displaystyle\binom{9-n}{5-n}=
\dfrac{1}{\displaystyle\binom{10}{5}}\displaystyle\sum_{n=0}^5\displaystyle\binom{n+1}{n}\cdot \displaystyle\binom{9-n}{5-n}=\dfrac{\displaystyle\binom{11}{5}}{\displaystyle\binom{10}{5}}=\dfrac{11}{6}=1.8333\ldots[/texx]




Cuando diste tu respuesta entendí bien lo que hacías, pero me costaba razonar la relación entre los casos totales y los casos favorables; de hecho, ¿quiénes son aquí los casos favorables y por qué? Eso no se razona igual que en otros problemas “noramles” de probabilidad, me parece ver que tiene un matiz distinto, o, por lo menos, para mí es más confuso.

Saludos.
En línea

Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.421


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 10/11/2019, 07:46:26 am »

Hola

Cuando diste tu respuesta entendí bien lo que hacías, pero me costaba razonar la relación entre los casos totales y los casos favorables; de hecho, ¿quiénes son aquí los casos favorables y por qué? Eso no se razona igual que en otros problemas “noramles” de probabilidad, me parece ver que tiene un matiz distinto, o, por lo menos, para mí es más confuso.

El razonamiento casos favorables/casos totales es prefectamente normal.

Si la primera carta par fue la [texx]k[/texx]-ésima, los casos totales son las distintas formas de extraer [texx]k[/texx] cartas del total de [texx]10[/texx]:

[texx]10[/texx] opciones para la primera carta; [texx]9[/texx] para la segunda (descartamos la que ya salió); [texx]8[/texx] para la tercera (descartamos las dos que ya salieron); y así sucesivamente hasta completar [texx]k[/texx] cartas,

[texx]T(k)=10\cdot 9\cdot \ldots\cdot (10-k+1)=\color{red}\dfrac{10|}{(10-k)!}\color{black}[/texx]

Los casos favorables son aquellos en los que las [texx]k-1[/texx] cartas fueron impares y la [texx]k[/texx]-ésima par. Las posibilidades de elegir las impares son:

[texx]5[/texx] para la primera; [texx]4[/texx] para la segunda; hasta completar [texx]k-1[/texx] cartas. Para la carta par hay [texx]5[/texx] opciones.

[texx]F(k)=5\cdot 4\cdot \ldots\cdot (5-(k-1)+1)\cdot 5=\dfrac{5\cdot 5!}{(6-k)!}[/texx]

Saludos.

CORREGIDO
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.543



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 10/11/2019, 07:49:15 am »



El razonamiento casos favorables/casos totales es prefectamente normal.

Si la primera carta par fue la [texx]k[/texx]-ésima, los casos totales son las distintas formas de extraer [texx]k[/texx] cartas del total de [texx]10[/texx]:

[texx]10[/texx] opciones para la primera carta; [texx]9[/texx] para la segunda (descartamos la que ya salió); [texx]8[/texx] para la tercera (descartamos las dos que ya salieron); y así sucesivamente hasta completar [texx]k[/texx] cartas,

[texx]T(k)=10\cdot 9\cdot \ldots\cdot (10-k+1)=(10-k)[/texx]

Los casos favorables son aquellos en los que las [texx]k-1[/texx] cartas fueron impares y la [texx]k[/texx]-ésima par. Las posibilidades de elegir las impares son:

[texx]5[/texx] para la primera; [texx]4[/texx] para la segunda; hasta completar [texx]k-1[/texx] cartas. Para la carta par hay [texx]5[/texx] opciones.

[texx]F(k)=5\cdot 4\cdot \ldots\cdot (5-(k-1)+1)\cdot 5=\dfrac{5\cdot 5!}{(6-k)!}[/texx]

Saludos.

Ah, ahora sí. Pues me costaba verlo, se me mezclaban las ideas.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.
En línea

Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!