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Autor Tema: Suma de Riemann y Stolz  (Leído 81 veces)
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Farifutbol
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« : 08/11/2019, 07:32:21 pm »

Tengo el límite
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{a_n=\sqrt[n]{\left( 1+\dfrac{2}{n}\right) \left( 1+\dfrac{4}{n}\right) \left( 1+\dfrac{6}{n}\right)...\left( 1+\dfrac{2n}{n}\right)}  } [/texx]

Si lo esctibo como suma de Riemann, el logaritmo del límite sería
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}[Ln\left( 1+\dfrac{2}{n}\right)+Ln\left( 1+\dfrac{4}{n}\right)+\left( 1+\dfrac{6}{n}\right)+....\left( 1+\dfrac{2n}{n}\right)}][/texx] que es igual a la integral
[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3}Ln(x) \cdot dx=xln(x)-x[/texx] entre 1 y 3 por lo que
[texx]=\displaystyle\frac{1}{2}(3Ln3-3+1)=\displaystyle\frac{1}{2}Ln\displaystyle\frac{3^3}{e^2}=Ln\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3^3}{e^2}}=[/texx]
Que al desacer el logaritmo del límite nos daría:
[texx]\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{3}}{e}[/texx]

Si lo hago por Stolz
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+3)(n+5)(n+7)...(3n+1)(3n+3)}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)(n+6)...(3n)}{n^n}}=\displaystyle\frac{3}{e}[/texx]
Solo me falta el [texx]\sqrt[ ]{3}[/texx]
Tengo algún error?
Mañana lo edito para los pasos intermedios, pero se me hace tarde.
Gracias y un saludo
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 08/11/2019, 11:01:18 pm »

El problema es la última igualdad aquí:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+3)(n+5)(n+7)...(3n+1)(3n+3)}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)(n+6)...(3n)}{n^n}}=\displaystyle\frac{3}{e}[/texx]

Ahí afirmas que [texx]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \prod_{k=1}^n \frac{n+2k+1}{n+2k}=1[/texx], imagino usando que "el límite de un producto es el producto de los límites", pero aquí no aplica.

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Farifutbol
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« Respuesta #2 : 11/11/2019, 08:57:29 am »

y por qué?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 11/11/2019, 09:00:53 am »

Hola

y por qué?

Porque eso no vale para productos infinitos. El ejemplo más conocido es:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac{1}{n}\right)[/texx]

El límite es el número [texx]e[/texx], aunque el límite de cada factor del producto es [texx]1[/texx].

Saludos.
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