20/11/2019, 01:28:09 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a aladan
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Integral 2  (Leído 272 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.734


Ver Perfil
« : 08/11/2019, 11:39:50 am »

Hola, tengo un ejercicio resuelto de acceso a la universidad, y tengo dudas. Lo escribo:
"Dada la función [texx]G(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx], para calcular [texx]G'(x)[/texx], procedemos como sigue.
La función del integrando es una función continua en [texx]\mathbf{R}[/texx] y [texx]G[/texx] es una función compuesta de dos funciones:
[texx]g(x)=x^2[/texx] y [texx]h(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx].
Es decir, aplicando la regla de la cadena, [texx]G(x)=(h\circ{g})(x)=h(g(x))[/texx].
[texx]G'(x)=h'(g(x))\cdot{g'(x)}=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot{2x}=\dfrac{2x}{1+x^4}[/texx]."
Las dudas son:
- ¿qué intervalo de integración es [texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}[/texx] o [texx]\displaystyle\int_{1}^{x}[/texx]?. No es lo mismo que la Regla de Barrow:
[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=g(b)-g(a)[/texx];
- ¿por qué [texx]h'(g(x))=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}[/texx]?.
Un saludo
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.544



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 08/11/2019, 12:24:43 pm »


Hola, Marcos.

Ten en cuenta que están hablando de la derivada de una integral, no de una integral. En una primitiva, o integral indefinida, la derivada de la integral [texx]\int f(x)dx
 [/texx] es la función f(x); no tienes que pensar en la integral ni en el dominio como algo para integrar nada; el dominio es el que es, pero como no integras, sino que hayas la derivada, pues para una integral definida se hace de esa forma, de la que indican, aplicando la regla de la cadena.

En cuestiones teóricas no me atrevo a entrar ahora mismo, ya sabes que análisis... sé poco y lo poco que sé lo tengo muy olvidado.

Saludos.
En línea

Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Desconectado Desconectado

España España

Mensajes: 1.640


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 08/11/2019, 12:48:53 pm »

Hola, tengo un ejercicio resuelto de acceso a la universidad, y tengo dudas. Lo escribo:
"Dada la función [texx]G(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx], para calcular [texx]G'(x)[/texx], procedemos como sigue.
La función del integrando es una función continua en [texx]\mathbf{R}[/texx] y [texx]G[/texx] es una función compuesta de dos funciones:
[texx]g(x)=x^2[/texx] y [texx]h(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx].
Es decir, aplicando la regla de la cadena, [texx]G(x)=(h\circ{g})(x)=h(g(x))[/texx].
[texx]G'(x)=h'(g(x))\cdot{g'(x)}=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot{2x}=\dfrac{2x}{1+x^4}[/texx]."
Las dudas son:
- ¿qué intervalo de integración es [texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}[/texx] o [texx]\displaystyle\int_{1}^{x}[/texx]?. No es lo mismo que la Regla de Barrow:
[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=g(b)-g(a)[/texx];
En la expresión [texx]\int_{1}^x f(t)\,\mathrm d t[/texx] el valor de [texx]x[/texx] representa un valor real desconocido, una variable si se quiere, entonces empleando la regla de Barrow tendríamos que
[texx]\displaystyle{
H(x):=\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)
}[/texx]

donde [texx]F[/texx] es cualquier primitiva de [texx]f[/texx]. Ahí el intervalo de integración sería [texx][a,x][/texx], cuando [texx]x\geqslant a[/texx], o [texx][x,a][/texx] cuando [texx]x<a[/texx].

Cita
- ¿por qué [texx]h'(g(x))=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}[/texx]?.
Un saludo

Ahí han utilizado el primer teorema fundamental del cálculo. Es decir, tenemos que [texx]h'(x)=\frac1{1+x^2}[/texx].
En línea
Bobby Fischer
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 165


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 08/11/2019, 02:53:59 pm »

A mí me salva:

[texx]G'(t)=\dfrac{1}{1+t^2}[/texx]

[texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}G'(t)\,dt=G(x^2)-G(1)[/texx]

[texx]\Big ( \displaystyle\int_{1}^{x^2}G'(t)\,dt\Big)'=(G(x^2)-G(1))'=G'(x^2)\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}[/texx]

Saludos.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.544



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 08/11/2019, 03:52:49 pm »

Hola otra vez, Marcos.

Es que esa integral me parece que era un arcoalgo, toma ésta. que es más fácil y puedes verlo mejor:

[texx]G(x)={\displaystyle \int_{1}^{x^{2}}(1+t^{2})dt}
 [/texx].

Entonces:

Primitiva: [texx]t+\dfrac{t^{3}}{3}
 [/texx]

Integral definida:

[texx]t_{b}+\dfrac{t_{b}^{3}}{3}-(t_{a}+\dfrac{t_{a}^{3}}{3})
 [/texx]

Sustituyendo los límites de integración

[texx]x^{2}+\dfrac{(x^{2})^{3}}{3}-(1+\dfrac{1}{3})=
 [/texx]

Por tanto, resultado de la integral: [texx]x^{2}+\dfrac{x^{6}}{3}-\dfrac{4}{3}
 [/texx].

Derivamos la integral:

[texx](x^{2}+\dfrac{x^{6}}{3}-\dfrac{4}{3})^{\prime}=2x+2x^{5}={\color{blue}2x(1+x^{4})}
 [/texx]

...

Ahora, por el método que te dicen, sin integrar y sin líos, sustituyendo “t” por x cuadrado, la derivada de la integral es directamente

[texx](1+(x^{2})^{2})=1+x^{4}
 [/texx]...

...multiplicada acto seguido por la derivada del límite de integración de arriba [texx]x^{2}
 [/texx], que es [texx](x^{2})^{\prime}=2x
 [/texx]:

[texx]{\color{blue}2x(1+x^{4}})
 [/texx].

Y ahí ya ves que es lo mismo y qué es lo que pasa.

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.734


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 08/11/2019, 04:28:23 pm »

Pero entonces, a pesar de tener notaciones similares, son [texx]G(x)[/texx]...¿[texx]G(x)[/texx] es una función compuesta, y [texx]h(x)[/texx] una integral ...de qué tipo?. No sé, tienen notación similar, pero no tienen nada que ver. :BangHead:
Un saludo
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.544



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 08/11/2019, 06:28:56 pm »

Hola, Marcos.

Pero entonces, a pesar de tener notaciones similares, son [texx]G(x)[/texx]...¿[texx]G(x)[/texx] es una función compuesta, y [texx]h(x)[/texx] una integral ...de qué tipo?. No sé, tienen notación similar, pero no tienen nada que ver. :BangHead:
Un saludo

[texx]G(x)
 [/texx] es la integral; las integrales suelen ir con mayúsculas.

[texx]G^{\prime}(x)
 [/texx] es la derivada de la integral; en una primitiva será simplemente la función de dentro, en tu caso, si fuera una primitiva, sería [texx]\dfrac{1}{1+t^{2}}
 [/texx], a la que se podría llamar [texx]g(t)
 [/texx].

[texx]G(x)
 [/texx], la integral, está compuesta de dos funciones, el límite superior [texx]x^{2}
 [/texx], a la que llama g(x) y la integral en sí, [texx]h(x)={\displaystyle \int_{1}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}dt}
 [/texx], donde la x no está al cuadrado porque es la otra función, queda una “x” que hace de “indicador” de la variable; pero, si te da problemas, entiéndela como la primitiva [texx]{\displaystyle \int\dfrac{1}{1+t^{2}}dt}
 [/texx] donde “t” es una función de “x”, es g(x) en concreto (por eso se deja una “x” ahí arriba, porque “t” es un función de “x”).

O, si quieres, míralo así, [texx](x)^{2}
 [/texx], por la regla de la cadena, en realidad, es la derivada de [texx](x)^{2}
 [/texx] por la derivada de x, pero la derivada de x es 1 y no se pone; pero ahí se pone porque, si no, se ve sólo la “t” y queda como sin información.


Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.734


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 09/11/2019, 04:32:39 am »

Hola
Primero quiero referirme a las integrales de este ejercicio. En este hilo Masacroso me ha respondido:
[texx]H(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)[/texx]
Y con eso lo he entendido por una parte. La Regla de Barrow la recuerdo de COU.
Y Bobby Fischer, en el caso de [texx]G(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx], también me ha respondido:
[texx]G'(t)=\dfrac{1}{1+t^2}[/texx]
[texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}G'(t)dt=G(x^2)-G(1)[/texx]
Y yo digo lo siguiente:
[texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan{(x^2)}-\arctan{(1)}=\arctan{(x^2)}-\dfrac{\pi}{4}[/texx].
¿Esto está correcto?
Por otra parte [texx]x^2[/texx] es uno de los extremos de integración en lo que yo he escrito hasta ahora, y [texx]g(x)[/texx] en [texx]G(x)=(h\circ{g})(x)=h(g(x))[/texx]
¿Qué relación hay entre ambos conceptos?; ¿cómo puedo integrarlos?.
Un saludo :sonrisa:
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.544



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 09/11/2019, 05:48:22 am »


Y yo digo lo siguiente:
[texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan{(x^2)}-\arctan{(1)}=\arctan{(x^2)}-\dfrac{\pi}{4}[/texx].
¿Esto está correcto?
Por otra parte [texx]x^2[/texx] es uno de los extremos de integración en lo que yo he escrito hasta ahora, y [texx]g(x)[/texx] en [texx]G(x)=(h\circ{g})(x)=h(g(x))[/texx]
¿Qué relación hay entre ambos conceptos?; ¿cómo puedo integrarlos?.
Un saludo :sonrisa:

Hola, Marcos.
 Pero ¿no lo has integrado ya? :¿eh?:

Saludos.
En línea

Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.424


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 09/11/2019, 05:56:25 am »

Hola

Y Bobby Fischer, en el caso de [texx]G(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx], también me ha respondido:
[texx]G'(t)=\dfrac{1}{1+t^2}[/texx]

Con esa definición de G(x) esa derivada está mal. En realidad Bobby Fischer llamó (aunque no lo dijo así)  [texx]G(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx] es decir "su" [texx]G(x)[/texx] es la [texx]h(x)[/texx] de tu primer mensaje.

Cita
[texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan{(x^2)}-\arctan{(1)}=\arctan{(x^2)}-\dfrac{\pi}{4}[/texx].
¿Esto está correcto?

Está bien. Aunque luego añado un matiz. (*)

Cita
Por otra parte [texx]x^2[/texx] es uno de los extremos de integración en lo que yo he escrito hasta ahora, y [texx]g(x)[/texx] en [texx]G(x)=(h\circ{g})(x)=h(g(x))[/texx]
¿Qué relación hay entre ambos conceptos?; ¿cómo puedo integrarlos?.

No entiendo bien tu pregunta.

Recapitulemos:

1) Definimos: [texx]h(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx].

2) [texx]g(x)=x^2[/texx]

3) [texx]G(x)=(h\circ g)(x)=h(g(x))=\displaystyle\int_{1}^{g(x)}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt[/texx]

4) Queremos hallar [texx]G'(x)[/texx].

5) Por la regla de la cadena:

[texx]G'(x)=h'(g(x))g'(x)[/texx]

6) Por el Teorema fundamental del cálculo integral:

[texx]h'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}[/texx]

7) Susituyendo en (5):

[texx] G'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{1+(g(x))^2}\cdot g'(x)=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot (2x)[/texx]


(*) El matiz.

Fíjate que a ti no te piden hallar esta integral:

[texx]\displaystyle\int_{1}^{x^2}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\arctan{(x^2)}-\arctan{(1)}=\arctan{(x^2)}-\dfrac{\pi}{4}[/texx].

Sino su derivada. La ventaja del método que he detallado en varios pasos (y que ponías en tu primer mensaje) frente a hallar directamente la integral y luego derivar, es que realmente para hallar la derivada no necesitas hacer integral alguna. Es decir podemos saber la derivada aunque no supiéramos integrar [texx]\dfrac{1}{1+t^2}[/texx].

Para que entiendas bien lo que digo haz lo análogo con este ejemplo. Hallar la derivada de:

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^3}sin(e^{t^2})dt[/texx]

Saludos.

En línea
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.734


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 09/11/2019, 06:02:35 am »

¡Uppps!
Duda solucionada
Un saludo, feriva
En línea

No man is an island (John Donne)
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.544



Ver Perfil
« Respuesta #11 : 09/11/2019, 07:04:31 am »

¡Uppps!
Duda solucionada
Un saludo, feriva

De nada, Marcos (no sé si has visto la respuesta de Luis donde te detalla todos los aspectos del problema, con el Teorema fundamental y eso).

Saludos.
En línea

Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.734


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 09/11/2019, 10:51:57 am »

Hola feriva, Luis
[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^3}\sen{(e^{t^{2}})}dt[/texx]
1- Definimos [texx]h(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\sen{(e^{t^{2}})}dt[/texx]
2- [texx]g(x)=x^3[/texx]
3- [texx]G(x)(h\circ{g})(x)=h(g(x))=\displaystyle\int_{0}^{g(x)}\sen{(e^{t^{2}})}dt=\displaystyle\int_{0}^{x^3}\sen{(e^{t^{2}})}dt[/texx]
4- Queremos hallar [texx]G'(x)[/texx]
5- Por la regla de la cadena
[texx]G'(x)=h'(g(x))\cdot{g'(x)}[/texx]
6- Por el Teorema fundamental del cálculo integral
[texx]h'(x)=\sen{(e^{t^{2}})}[/texx]
7- Sustituyendo en (5)
[texx]G'(x)=h'(g(x))\cdot{g'(x)}=\sen{(e^{x^{6}})}3x^2[/texx]
¿Correcto?
Un saludo
En línea

No man is an island (John Donne)
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.424


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 10/11/2019, 07:53:11 am »

Hola

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^3}\sen{(e^{t^{2}})}dt[/texx]
1- Definimos [texx]h(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\sen{(e^{t^{2}})}dt[/texx]
2- [texx]g(x)=x^3[/texx]
3- [texx]G(x)(h\circ{g})(x)=h(g(x))=\displaystyle\int_{0}^{g(x)}\sen{(e^{t^{2}})}dt=\displaystyle\int_{0}^{x^3}\sen{(e^{t^{2}})}dt[/texx]
4- Queremos hallar [texx]G'(x)[/texx]
5- Por la regla de la cadena
[texx]G'(x)=h'(g(x))\cdot{g'(x)}[/texx]
6- Por el Teorema fundamental del cálculo integral
[texx]h'(x)=\sen{(e^{t^{2}})}[/texx]
7- Sustituyendo en (5)
[texx]G'(x)=h'(g(x))\cdot{g'(x)}=\sen{(e^{x^{6}})}3x^2[/texx]
¿Correcto?

Está bien.

Saludos.
En línea
Marcos Castillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.734


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 10/11/2019, 09:07:15 am »

¡Muchas gracias!
Un saludo
En línea

No man is an island (John Donne)
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!