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Autor Tema: Primer teorema fundamental del cálculo  (Leído 76 veces)
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Marcos Castillo
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« : 08/11/2019, 09:14:01 am »

Hola, estoy terminando de leer el segundo y último libro de un curso de acceso a la universidad de la Uned, y hay algo del enunciado del Primer teorema fundamental del cálculo que no entiendo. Lo escribo:
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea [texx]f[/texx] una función integrable en [texx][a,b][/texx] y sea [texx]F[/texx] la función definida, para cada [texx]x\in{[a,b]}[/texx], por
[texx]F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}f(t)dt[/texx].
Si [texx]f[/texx] es continua en un punto [texx]x\in{[a,b]}[/texx] entonces [texx]F[/texx] es derivable en [texx]x[/texx], y además
[texx]F'(x)=f(x)[/texx]. Adjunto dibujo.




La duda es: ¿por qué pone [texx]f(t)dt[/texx], cuando tendría que poner [texx]f(x)dx[/texx]?.
Un saludo

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No man is an island (John Donne)
feriva
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« Respuesta #1 : 08/11/2019, 09:17:21 am »

Hola, Marcos.

Hola, estoy terminando de leer el segundo y último libro de un curso de acceso a la universidad de la Uned, y hay algo del enunciado del Primer teorema fundamental del cálculo que no entiendo. Lo escribo:
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea [texx]f[/texx] una función integrable en [texx][a,b][/texx] y sea [texx]F[/texx] la función definida, para cada [texx]x\in{[a,b]}[/texx], por
[texx]F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}f(t)dt[/texx].
Si [texx]f[/texx] es continua en un punto [texx]x\in{[a,b]}[/texx] entonces [texx]F[/texx] es derivable en [texx]x[/texx], y además
[texx]F'(x)=f(x)[/texx]. Adjunto dibujo.
La duda es: ¿por qué pone [texx]f(t)dt[/texx], cuando tendría que poner [texx]f(x)dx[/texx]?.
Un saludo

Por que f(t) puede ser a su vez una función de "x", es más general (o más particular, según se designe). De hecho, fíjate en en los límites de la integral, va desde "x" hasta "a".

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 08/11/2019, 09:27:32 am »

Hola

Hola, estoy terminando de leer el segundo y último libro de un curso de acceso a la universidad de la Uned, y hay algo del enunciado del Primer teorema fundamental del cálculo que no entiendo. Lo escribo:
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea [texx]f[/texx] una función integrable en [texx][a,b][/texx] y sea [texx]F[/texx] la función definida, para cada [texx]x\in{[a,b]}[/texx], por
[texx]F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}f(t)dt[/texx].
Si [texx]f[/texx] es continua en un punto [texx]x\in{[a,b]}[/texx] entonces [texx]F[/texx] es derivable en [texx]x[/texx], y además
[texx]F'(x)=f(x)[/texx]. Adjunto dibujo.




La duda es: ¿por qué pone [texx]f(t)dt[/texx], cuando tendría que poner [texx]f(x)dx[/texx]?.
Un saludo

El nombre de la variable es irrelevante. Da igual:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt=\displaystyle\int_{0}^{x}f(s)ds=\displaystyle\int_{0}^{x}f(w)dw[/texx]

Ahora sin embargo si pones:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{x}f(x)dx[/texx]

se presta a confusión porque estás usando el mismo nombre para el límite superior de la integral y la variable de integración.

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #3 : 08/11/2019, 09:56:25 am »

¡Muchas gracias, feriva, Luis!
Un saludo
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