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Autor Tema: Polynomials  (Leído 95 veces)
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« : 07/11/2019, 10:34:31 am »

If [texx]f[/texx] be a non zero polynomial such that [texx]f(1-x)=f(1+x)[/texx] for all real [texx]x[/texx]

And [texx]f(1)=0[/texx]. Then largest positive integer [texx]m[/texx] such that

[texx](x-1)^{m}[/texx] divides polynomial [texx]f(x)[/texx] for all polynomial [texx]f(x),[/texx] is
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« Respuesta #1 : 07/11/2019, 01:17:12 pm »

Maybe I am missing something obvious, but what about the polynomials [texx](x-1)^{2k}[/texx] for an arbitrary [texx]k>0[/texx]? They satisfy all the conditions, so there is no such largest [texx]m[/texx].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
martiniano
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« Respuesta #2 : 07/11/2019, 01:49:07 pm »

Hello.

The polinomials you have found are not divisibles all them by [texx](x-1)^m[/texx] if [texx]m>2[/texx]. Then [texx]m\leq{2}[/texx]...

Health.
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« Respuesta #3 : 07/11/2019, 02:15:04 pm »

Obviously I have misunderstood the statement of the problem. The question is to find the largest [texx]m[/texx] dividing all polynomials satisfying those conditions. Thanks, martiniano.

But now it's easy to see that in fact [texx]m=2[/texx]. Indeed, as martiniano has remarked, my previous example show that [texx]m \leq 2[/texx].
Now, if [texx]f(x)[/texx] is a polynomial satisfying the conditions but not divisible by [texx](1-x)^2[/texx], we can write:
[texx]f(x) = (x-1)g(x)[/texx], where [texx]g(x)[/texx] is a polynomial with [texx]g(1) \neq 0[/texx].
From [texx]f(1+x)=f(1-x)[/texx] we obtain:
[texx]-xg(1+x)=xg(1-x)[/texx], hence:
[texx]-g(1+x)=g(1-x)[/texx].
Evaluating at [texx]x=0[/texx], we obtain [texx]-g(1) = g(1)[/texx], hence [texx]2g(1)=0[/texx] and [texx]g(1)=0[/texx], contradiction.
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« Respuesta #4 : 08/11/2019, 03:25:11 am »

Thanks Moderator got it
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