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 Autor Tema: Polynomials  (Leído 95 veces) 0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
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 « : 07/11/2019, 10:34:31 am »

If $f$ be a non zero polynomial such that $f(1-x)=f(1+x)$ for all real $x$

And $f(1)=0$. Then largest positive integer $m$ such that

$(x-1)^{m}$ divides polynomial $f(x)$ for all polynomial $f(x),$ is
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 « Respuesta #1 : 07/11/2019, 01:17:12 pm »

Maybe I am missing something obvious, but what about the polynomials $(x-1)^{2k}$ for an arbitrary $k>0$? They satisfy all the conditions, so there is no such largest $m$.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: $d^2=0$
martiniano
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 « Respuesta #2 : 07/11/2019, 01:49:07 pm »

Hello.

The polinomials you have found are not divisibles all them by $(x-1)^m$ if $m>2$. Then $m\leq{2}$...

Health.
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 « Respuesta #3 : 07/11/2019, 02:15:04 pm »

Obviously I have misunderstood the statement of the problem. The question is to find the largest $m$ dividing all polynomials satisfying those conditions. Thanks, martiniano.

But now it's easy to see that in fact $m=2$. Indeed, as martiniano has remarked, my previous example show that $m \leq 2$.
Now, if $f(x)$ is a polynomial satisfying the conditions but not divisible by $(1-x)^2$, we can write:
$f(x) = (x-1)g(x)$, where $g(x)$ is a polynomial with $g(1) \neq 0$.
From $f(1+x)=f(1-x)$ we obtain:
$-xg(1+x)=xg(1-x)$, hence:
$-g(1+x)=g(1-x)$.
Evaluating at $x=0$, we obtain $-g(1) = g(1)$, hence $2g(1)=0$ and $g(1)=0$, contradiction.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: $d^2=0$
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