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Autor Tema: Integral  (Leído 189 veces)
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Marcos Castillo
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« : 07/11/2019, 07:05:02 am »

Hola, tengo una integral resuelta y una duda. Lo escribo:
[texx]-2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}=+\dfrac{2}{3}\cos^3{(x)}+k[/texx]
La duda es que no entiendo el cambio de signo.
Un saludo
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Bobby Fischer
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« Respuesta #1 : 07/11/2019, 07:08:39 am »

Hola, tengo una integral resuelta y una duda. Lo escribo:
[texx]-2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}=+\dfrac{2}{3}\cos^3{(x)}+k[/texx]
La duda es que no entiendo el cambio de signo.
Un saludo

Tienes que tener la derivada del coseno en el integrando, que es menos seno.

Saludos Marcos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 07/11/2019, 07:10:06 am »

Hola

Hola, tengo una integral resuelta y una duda. Lo escribo:
[texx]-2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}=+\dfrac{2}{3}\cos^3{(x)}+k[/texx]
La duda es que no entiendo el cambio de signo.
Un saludo

Es que no hay un "cambio de signo" de la nada. Simplemente haz cuentas.

Haz el cambio [texx]cos(x)=t.[/texx]

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #3 : 07/11/2019, 09:15:15 am »

Hola Bobby Fischer, Luis. A ver:
[texx]-2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}dx[/texx];
[texx]\cos{(x)}=t[/texx]
[texx]-\sen{(x)}dx=dt[/texx]
[texx]2\displaystyle\int t^2dt=2\dfrac{t^3}{3}+k=2\dfrac{\cos^3{(x)}}{3}+k[/texx]
Pero tengo una duda. El libro de texto dice:
"Con la terminología tradicional se dice "haciendo el cambio de variable"
Paso 1: Se sustituye [texx]g(x)[/texx] por una variable nueva [texx]t[/texx].
Paso 2: Se sustituye [texx]g'(x)dx[/texx] por [texx]dt[/texx].
Paso 3: Se reescribe la integral y se calcula
[texx]\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t)dt=F(t)+k[/texx].
Paso 4: Se deshace el cambio [texx]F(t)+k=F(g(x))+k[/texx].
La duda es: ¿[texx]\cos^2{(x)}=f(g(x))[/texx]?. Yo sólo veo una función: [texx]f(x)=\cos^2{(x)}[/texx].
Un saludo
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 07/11/2019, 09:37:05 am »

Hola

Hola Bobby Fischer, Luis. A ver:
[texx]-2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}dx[/texx];
[texx]\cos{(x)}=t[/texx]
[texx]-\sen{(x)}dx=dt[/texx]
[texx]2\displaystyle\int t^2dt=2\dfrac{t^3}{3}+k=2\dfrac{\cos^3{(x)}}{3}+k[/texx]
Pero tengo una duda. El libro de texto dice:
"Con la terminología tradicional se dice "haciendo el cambio de variable"
Paso 1: Se sustituye [texx]g(x)[/texx] por una variable nueva [texx]t[/texx].
Paso 2: Se sustituye [texx]g'(x)dx[/texx] por [texx]dt[/texx].
Paso 3: Se reescribe la integral y se calcula
[texx]\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t)dt=F(t)+k[/texx].
Paso 4: Se deshace el cambio [texx]F(t)+k=F(g(x))+k[/texx].
La duda es: ¿[texx]\cos^2{(x)}=f(g(x))[/texx]?. Yo sólo veo una función: [texx]f(x)=\cos^2{(x)}[/texx].
Un saludo

[texx]f(x)=x^2,\qquad g(x)=cos(x)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 07/11/2019, 09:55:47 am »


Hola, Marcos.

Puedes transformar la expresión así [texx]sen(x)\cdot cos^{2}(x)=sen(x)\left(1-sen^{2}x\right)=sen(x)-sen^{3}x
 [/texx] y hacerla como la suma de dos integrales por teorema Fundamental del Cálculo; así la ves desde otra perspectiva.

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #6 : 07/11/2019, 10:00:03 am »

¡Gracias, Luis, Bobby Fischer!
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« Respuesta #7 : 07/11/2019, 10:02:28 am »

¡Gracias feriva!
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« Respuesta #8 : 07/11/2019, 12:54:05 pm »

¡Gracias feriva!



De nada, Marcos, te la he hecho yo en "colores"; para prácticar, que hace décadas que no hago cosas de integrales

[texx]\int sen^{3}(x)\cdot dx=
 [/texx]

[texx]\int sen(x)\cdot sen^{2}(x)dx=
 [/texx]

[texx]\int sen(x)\left(1-cos^{2}(x)\right)dx=
 [/texx]

[texx]{\color{blue}\int(sen(x)dx}{\color{magenta}-\int sen(x)cos^{2}(x)dx}:
 [/texx]


 [texx]{\color{blue}\int(sen(x))dx=-cos(x)}
 
 [/texx]   (si la derivada del coseno es negativa, análogamente lo es la integral del seno).


[texx]-\int cos^{2}(x)\cdot sen(x)dx\Rightarrow
 [/texx]

[texx]cos(x)=t;\,\, cos^{\prime}(x)=-sen(x)=t^{\prime}\Rightarrow
 [/texx]
(aquí la derivada del coseno, negativa)

[texx]-\int t\cdot d(t)=
 [/texx]

[texx]{\color{black}-}\int cos^{2}(x)\cdot sen(x))dx=
 [/texx]

[texx]\int cos^{2}(x)\cdot({\color{black}-}sen(x))dx=
 [/texx]

[texx]\dfrac{cos^{3}(x)}{3}\Rightarrow
 [/texx]

Entonces

[texx]{\color{blue}\int(sen(x)}{\color{magenta}-sen(x)cos^{2}(x))sx}=\int sen^{3}(x)=
 [/texx]

[texx]{\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k}
 [/texx]

...

Ahora, la integral que tienes es

[texx]-2\int sen(x)\cdot cos^{2}(x)d(x)
 [/texx]

por la transformación que te decía en la otra respuesta es lo mismo que

[texx]-2\int sen(x)-sen^{3}x
 [/texx]

Entonces queda

[texx]-2\left(-cos(x)-({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
 [/texx]

[texx]2\left(cos(x)+({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
 [/texx]

[texx]2\left(cos(x){\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}}\right)=
 [/texx]

[texx]2\cdot\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k
 [/texx]

Saludos.
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« Respuesta #9 : 07/11/2019, 03:46:57 pm »

Hola

¡Gracias feriva!



De nada, Marcos, te la he hecho yo en "colores"; para prácticar, que hace décadas que no hago cosas de integrales

[texx]\int sen^{3}(x)\cdot dx=
 [/texx]

[texx]\int sen(x)\cdot sen^{2}(x)dx=
 [/texx]

[texx]\int sen(x)\left(1-cos^{2}(x)\right)dx=
 [/texx]

[texx]{\color{blue}\int(sen(x)dx}{\color{magenta}-\int sen(x)cos^{2}(x)dx}:
 [/texx]


 [texx]{\color{blue}\int(sen(x))dx=-cos(x)}
 
 [/texx]   (si la derivada del coseno es negativa, análogamente lo es la integral del seno).


[texx]-\int cos^{2}(x)\cdot sen(x)dx\Rightarrow
 [/texx]

[texx]cos(x)=t;\,\, cos^{\prime}(x)=-sen(x)=t^{\prime}\Rightarrow
 [/texx]
(aquí la derivada del coseno, negativa)

[texx]-\int t\cdot d(t)=
 [/texx]

[texx]{\color{black}-}\int cos^{2}(x)\cdot sen(x))dx=
 [/texx]

[texx]\int cos^{2}(x)\cdot({\color{black}-}sen(x))dx=
 [/texx]

[texx]\dfrac{cos^{3}(x)}{3}\Rightarrow
 [/texx]

Entonces

[texx]{\color{blue}\int(sen(x)}{\color{magenta}-sen(x)cos^{2}(x))sx}=\int sen^{3}(x)=
 [/texx]

[texx]{\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k}
 [/texx]

...

Ahora, la integral que tienes es

[texx]-2\int sen(x)\cdot cos^{2}(x)d(x)
 [/texx]

por la transformación que te decía en la otra respuesta es lo mismo que

[texx]-2\int sen(x)-sen^{3}x
 [/texx]

Entonces queda

[texx]-2\left(-cos(x)-({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
 [/texx]

[texx]2\left(cos(x)+({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
 [/texx]

[texx]2\left(cos(x){\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}}\right)=
 [/texx]

[texx]2\cdot\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k
 [/texx]

Nada de esto está mal, pero sin embargo el camino que propones es un poco absurdo (en concreto un razonamiento circular). Y me explico.

Para resolver:

[texx]\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}[/texx]

propones unas ciertas cuentas que después obligan calcular la integral:

[texx]\displaystyle\int sin^3(x)dx[/texx]

y resulta que para calcular esa integral, con otras cuentas, tienes que calcular (y de hecho calculas):

[texx]\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #10 : 07/11/2019, 05:24:01 pm »


Nada de esto está mal, pero sin embargo el camino que propones es un poco absurdo (en concreto un razonamiento circular). Y me explico.

Para resolver:

[texx]\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}[/texx]

propones unas ciertas cuentas que después obligan calcular la integral:

[texx]\displaystyle\int sin^3(x)dx[/texx]

y resulta que para calcular esa integral, con otras cuentas, tienes que calcular (y de hecho calculas):

[texx]\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}[/texx]

Saludos.

Sí, Luis, me di cuenta sobre la marcha al dar ese paso, pero ya seguí por ver si llegaba al final sin equivocarme :cara_de_queso:
Muchas gracias.

Saludos.
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