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Autor Tema: Problema de conjuntos  (Leído 192 veces)
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Julio_fmat
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« : 07 Noviembre, 2019, 00:30 »

Sean [texx]A,B,C\subset \Omega[/texx] conjuntos. La diferencia simetrica de [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se define como [texx]A\triangle B:= (A\setminus B)\cup (B\setminus A).[/texx] Verifique que [texx](A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\triangle B)\cup (B\triangle C).[/texx]

Hola, lo tengo casi resuelto, pero me estanco en una parte...

[texx]\begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&(A\cup B\cup C) \cap (A\cap B\cap C)^{c}\\
&=&(A\cup B\cup C) \cap (A^c\cup B^c\cup C^c)\\
&=&[(A\cup B\cup C)\cap A^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap B^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap C^c]\\
&=&[(A^c\cap B)\cup (A^c\cap C)]\cup [(B^c\cap A)\cup (B^c\cap C)]\cup [(C^c\cap A)\cup (C^c\cap B)]\\
&=&[(B\setminus A)\cup (C\setminus A)]\cup [(A\setminus B)\cup (C\setminus B)]\cup [(A\setminus C)\cup (B\setminus C)]\\
&=&[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\cup [(B\setminus A) \cup (B\setminus C)]\cup [(C\setminus A)\cup (C\setminus B)]\\
&=&[A\setminus (B\cap C)]\cup [B\setminus (A\cap C)]\cup [C\setminus (A\cap B)]
\end{eqnarray*}
[/texx]

Luego, segun el solucionario, lo anterior es equivalente a

[texx][(A\setminus B)\cup (B\setminus C)]\cup [(B\setminus A)\cup (C\setminus B)]\\
(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus B)\\
(A \triangle B) \cup (B \triangle C).
[/texx]

Lo cual no entiendo como se llega a ello...  :BangHead:
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Bobby Fischer
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« Respuesta #1 : 07 Noviembre, 2019, 04:57 »

Hola,

No tenía el ordenador, pero había un aula abierta.



Saludos.

* IMG_20191107_084734237.jpg (3320.2 KB - descargado 67 veces.)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 07 Noviembre, 2019, 06:59 »

Hola

Sean [texx]A,B,C\subset \Omega[/texx] conjuntos. La diferencia simetrica de [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se define como [texx]A\triangle B:= (A\setminus B)\cup (B\setminus A).[/texx] Verifique que [texx](A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\triangle B)\cup (B\triangle C).[/texx]

Hola, lo tengo casi resuelto, pero me estanco en una parte...

[texx]\begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&(A\cup B\cup C) \cap (A\cap B\cap C)^{c}\\
&=&(A\cup B\cup C) \cap (A^c\cup B^c\cup C^c)\\
&=&[(A\cup B\cup C)\cap A^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap B^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap C^c]\\
&=&[(A^c\cap B)\cup (A^c\cap C)]\cup [(B^c\cap A)\cup (B^c\cap C)]\cup [(C^c\cap A)\cup (C^c\cap B)]\\
\end{eqnarray*}
[/texx]

Desde ahí ten en cuenta que:

[texx](A^c\cap B)=(A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B\cap C^c)[/texx]
[texx](A^c\cap C)=(A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B^c\cap C)[/texx]
[texx](B^c\cap A)=(A\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B^c\cap C^c)[/texx]
[texx](B^c\cap C)=(A\cap B^c\cap C)\cup (A^c\cap B^c\cap C)[/texx]    (*)
[texx](C^c\cap A)=(A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap B^c\cap C^c)[/texx]
[texx](C^c\cap B)=(A\cap B\cap C^c)\cup (A^c\cap B\cap C^c)[/texx]

Uniendo y eliminando las repeticiones queda:

[texx](A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B\cap C^c)\cup (A^c\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap B^c\cap C^c)[/texx] (**)

Por otra parte:

[texx] (A \triangle B) \cup (B \triangle C)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus B)=(A\cap B^c)\cup (A^c\cap A)\cup (B\cap C^c)\cup (C\cap B^c)[/texx]

Ahora vuelve a aplicar (*) y eliminando repeticiones llegas a (**).


No tenía el ordenador, pero había un aula abierta.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Está bien lo que haces, pero fíjate que queremos llegar a una expresión aun más simple:

[texx](A \triangle B) \cup (B \triangle C)[/texx] en lugar de [texx](A \triangle B) \cup (B \triangle C)\cup (A\triangle C)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 07 Noviembre, 2019, 15:30 »

Ha sido muy interesante, gracias a los dos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #4 : 11 Noviembre, 2019, 03:46 »

Muchas Gracias, lo resolvi de la siguiente manera. Consideremos que [texx]A\setminus C\subset (A\setminus B)\cup (B\setminus C)[/texx] y que [texx]C\setminus A\subset (B\setminus A)\cup (C\setminus B)[/texx]. Notamos que las contenciones son igualdades, porque [texx]A\setminus C= (A\setminus C)\cap X= (A\cap C^c)\cap (B\cup B^c)=(A\cap C^c\cap B)\cup (A\cap C^c\cap B^c)\subset (B\cap C^c)\cup (A\cap B^c)=(B\setminus C)\cup (A\setminus B).[/texx] Por tanto, tenemos que

[texx]\begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\cup [(A\setminus B)\cup (B\setminus C)]\cup [(B\setminus A)\cup (C\setminus B)]\\
&=&[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\\
&=&(A\triangle B)\cup (B\triangle C).
\end{eqnarray*}
[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 11 Noviembre, 2019, 05:56 »

Hola

Muchas Gracias, lo resolvi de la siguiente manera. Consideremos que [texx]A\setminus C\subset (A\setminus B)\cup (B\setminus C)[/texx] y que [texx]C\setminus A\subset (B\setminus A)\cup (C\setminus B)[/texx]. Notamos que las contenciones son igualdades, porque [texx]A\setminus C= (A\setminus C)\cap X= (A\cap C^c)\cap (B\cup B^c)=(A\cap C^c\cap B)\cup (A\cap C^c\cap B^c)\subset (B\cap C^c)\cup (A\cap B^c)=(B\setminus C)\cup (A\setminus B).[/texx]

Esa inclusión es cierta; pero NO son igualdades. Y de hecho ahí  no estás demostrando la igualdad; sólo la inclusión.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Cita
Por tanto, tenemos que

[texx]\begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&\color{red}[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\cup [(A\setminus B)\cup (B\setminus C)]\cup [(B\setminus A)\cup (C\setminus B)]\color{black}\\
&=&[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\\
&=&(A\triangle B)\cup (B\triangle C).
\end{eqnarray*}
[/texx]

No queda claro de donde te sacas la primera igualdad.

En tu primer mensaje llegaste a:

[texx](A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\cup [(B\setminus A) \cup (B\setminus C)]\cup [(C\setminus A)\cup (C\setminus B)[/texx]

Usando que:

[texx]A\setminus C\subset (A\setminus B)\cup (B\setminus C)[/texx]
[texx]C\setminus A\subset (B\setminus A)\cup (C\setminus B)[/texx]

y que en general si [texx]X\subset Y,[/texx] [texx]X\cup Y=Y[/texx] te queda:

[texx]=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus B)=(A \triangle B) \cup (B \triangle C).[/texx]

Saludos.
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