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Autor Tema: Estudiar validez de un razonamiento con un universal y ¿dos? existenciales  (Leído 138 veces)
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« : 06/11/2019, 09:41:51 pm »

Hola!!

Dado el siguiente razonamiento: "Todos los libros de mi biblioteca son de Matemática o Física. Algunos de mis libros de Física son antiguos. Mi libro de mayor tamaño es moderno. Por lo tanto, mi libro de mayor tamaño es de Matemática".

a) Escribir simbólicamente el razonamiento definiendo previamente un diccionario.
b) Analizar la validez y demostrar o refutar su validez.




La resolución del profesor es:

a) Sean \(\mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es un libro de mi biblioteca}\}\) y las proposiciones:

\(p(x)=\text{\(x\) es de Matemática}\)
\(q(x)=\text{\(x\) es de Física}\)
\(r(x)=\text{\(x\) es antiguo}\)
\(a=\text{Libro de mayor tamaño},\;a\in\mathcal{U}\)

Entonces el razonamiento se traduce en \[\begin{array}{l}\forall x(p(x)\vee q(x))\\\exists x(q(x)\wedge r(x))\\\neg r(a)\\\hline p(a)\end{array}\]
b) El razonamiento es inválido pues si elegimos \(\mathcal{U}=\{L_1,L_2,L_3\}\) con \(L_1\) un libro de Física antiguo, \(L_2\) uno de Física moderno de mayor tamaño y \(L_3\) uno de Matemática moderno tenemos que las premisas son verdaderas, pero la conclusión falsa.



Yo no veo que se haya traducido el razonamiento de forma "clásica" o "natural" pues aparece una negación en la premisa y en la conclusión sin cuantificador, y eso que conozco la particularización existencial [texx]\exists x(p(x))\equiv p(a)[/texx]. ¿Creen que el razonamiento está bien traducido?



En su defecto yo propongo lo siguiente (en base a lo comentado en otro hilo por Carlos Ivorra):

a) Sean \(\mathcal{U}=\{x\mid\text{\(x\) es un libro de mi biblioteca}\}\) y las proposiciones:

\(p(x)=\text{\(x\) es un libro de Matemática}\)
\(q(x)=\text{\(x\) es un libro de Física}\)
\(r(x)=\text{\(x\) es un libro antiguo}\)
\(s(x)=\text{\(x\) es un libro de mayor tamaño}\)

Entonces el razonamiento se traduce en \[\begin{array}{l}\forall x(p(x)\vee q(x))\\\exists x(q(x)\wedge r(x))\\\exists x(s(x))\\\hline \exists x(p(x)\wedge s(x))\end{array}\]
b) Consideremos un universo de tres objetos \(\mathcal{U}=\{a,b,c\}\), donde \(a,b\) son libros de Física y \(c\) es de Matemática, \(a\) es antiguo y \(b,c\) son modernos, y el libro \(b\) es el de mayor tamaño. Entonces es cierto que todo libro sea de Matemática o Física, también es cierto que algunos libros de Física son antiguos (\(a\) lo es), y también es cierto que algunos libros de mayor tamaño son modernos (\(b\) lo es), pero no es cierto que algunos libros de mayor tamaño sean de Matemática.

¿Es correcto mi razonamiento?



¿Qué opción les parece más completa y natural? ¿Ustedes propondrían otra cosa?

Gracias!!
Saludos
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 07/11/2019, 01:34:03 pm »

La de tu profesor es correcta, la tuya tal como está no pero es fácilmente arreglable. Tu última premisa debería ser
[texx]\exists x (s(x) \wedge \neg r(x))[/texx], porque en algún sitio debes decir que tu libro de mayor tamaño es moderno. Lo demás yo lo veo bien.

Al margen de esto, me parece más natural la formalización de tu profesor.
La cuestión es que cuando dices "mi libro de mayor tamaño" se entiende que es un único libro, y por tanto es mejor usar una constante en el lenguaje para referirte a él. Tal como propones tú, introduces una relación para referirte al libro de mayor tamaño, pero fíjate que en los modelos "pretendidos" esa relación siempre será cierta para un único elemento del modelo. En estos casos es mejor usar constantes en el lenguaje. Además, fíjate que tanto las premisas como la conclusión de tu profesor quedan más sencillas que las tuyas.
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« Respuesta #2 : 08/11/2019, 10:23:36 pm »

Hola geómetracat!

Tu última premisa debería ser [texx]\exists x (s(x) \wedge \neg r(x))[/texx], porque en algún sitio debes decir que tu libro de mayor tamaño es moderno.

Oh es cierto. Gracias.

Al margen de esto, me parece más natural la formalización de tu profesor.
La cuestión es que cuando dices "mi libro de mayor tamaño" se entiende que es un único libro, y por tanto es mejor usar una constante en el lenguaje para referirte a él. Tal como propones tú, introduces una relación para referirte al libro de mayor tamaño, pero fíjate que en los modelos "pretendidos" esa relación siempre será cierta para un único elemento del modelo. En estos casos es mejor usar constantes en el lenguaje. Además, fíjate que tanto las premisas como la conclusión de tu profesor quedan más sencillas que las tuyas.

Claro. Ahora veo que estoy tratando de matar una mosca a cañonazos.

Quería saber qué te parece la transcripción de la premisa [texx]\neg r(a)[/texx] (junto con la conclusión [texx]p(a)[/texx]) junto con que si esto: [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño},\;a\in\mathcal{U}[/texx] lo hubieras escrito textual o cómo, porque me hace ruido poner una coma y decir que tal elemento [texx]a[/texx] pertenece al conjunto universal y que además esté dentro del ámbito "Consideremos las siguiente proposiciones" porque en todo caso será un elemento de un conjunto, NO una proposición. No sé, me parece un poco desprolijo. Hubiese escrito [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño}\in\mathcal{U}[/texx] o decime vos. ¿Cómo lo ves?

No me queda bien en claro a qué te referís con "los modelos "pretendidos"". ¿Podrías detallarlo?

Saludos
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« Respuesta #3 : 09/11/2019, 11:20:03 am »

Quería saber qué te parece la transcripción de la premisa [texx]\neg r(a)[/texx] (junto con la conclusión [texx]p(a)[/texx]) junto con que si esto: [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño},\;a\in\mathcal{U}[/texx] lo hubieras escrito textual o cómo, porque me hace ruido poner una coma y decir que tal elemento [texx]a[/texx] pertenece al conjunto universal y que además esté dentro del ámbito "Consideremos las siguiente proposiciones" porque en todo caso será un elemento de un conjunto, NO una proposición. No sé, me parece un poco desprolijo. Hubiese escrito [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño}\in\mathcal{U}[/texx] o decime vos. ¿Cómo lo ves?

En mi opinión ya está bien como lo ha escrito tu profesor. Me parece algo más claro que tu propuesta, pero la verdad es que no creo que sea algo demasiado importante. La cuestión es que se entienda lo que quieres decir, y en los dos casos se entiende.

Cita
No me queda bien en claro a qué te referís con "los modelos "pretendidos"". ¿Podrías detallarlo?

Quería decir que con tu formalización puedes pensar en modelos donde la interpretación de [texx]s[/texx] es un conjunto con más de un elemento. Por modelos "pretendidos", me refería a aquellos en los que el universo del modelo es un conjunto de libros y [texx]s[/texx] es realmente el libro de mayor tamaño. En esos modelos, la interpretación de [texx]s[/texx] será siempre un conjunto con un único elemento.

PD: Si no lo has hecho, échale un vistazo al hilo que puse sobre el juego de los números naturales, creo que te puede interesar.
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« Respuesta #4 : 10/11/2019, 12:55:07 pm »

Hola

Quería saber qué te parece la transcripción de la premisa [texx]\neg r(a)[/texx] (junto con la conclusión [texx]p(a)[/texx]) junto con que si esto: [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño},\;a\in\mathcal{U}[/texx] lo hubieras escrito textual o cómo, porque me hace ruido poner una coma y decir que tal elemento [texx]a[/texx] pertenece al conjunto universal y que además esté dentro del ámbito "Consideremos las siguiente proposiciones" porque en todo caso será un elemento de un conjunto, NO una proposición. No sé, me parece un poco desprolijo. Hubiese escrito [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño}\in\mathcal{U}[/texx] o decime vos. ¿Cómo lo ves?

En mi opinión ya está bien como lo ha escrito tu profesor. Me parece algo más claro que tu propuesta, pero la verdad es que no creo que sea algo demasiado importante. La cuestión es que se entienda lo que quieres decir, y en los dos casos se entiende.

Cita
No me queda bien en claro a qué te referís con "los modelos "pretendidos"". ¿Podrías detallarlo?

Quería decir que con tu formalización puedes pensar en modelos donde la interpretación de [texx]s[/texx] es un conjunto con más de un elemento. Por modelos "pretendidos", me refería a aquellos en los que el universo del modelo es un conjunto de libros y [texx]s[/texx] es realmente el libro de mayor tamaño. En esos modelos, la interpretación de [texx]s[/texx] será siempre un conjunto con un único elemento.

PD: Si no lo has hecho, échale un vistazo al hilo que puse sobre el juego de los números naturales, creo que te puede interesar.

De acuerdo. Muchas gracias!

Saludos
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