29 Febrero, 2020, 10:22 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a aladan
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Espacios funcionales de dimensión infinita  (Leído 234 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
adhemir
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 278


Ver Perfil
« : 31 Octubre, 2019, 21:28 »

Si [texx]T:\mathcal{l}_{1} \rightarrow{ \mathcal{l}_{p} }[/texx] es lineal e inyectiva , entonces  [texx]\dim(\mathcal{l}_{1})=\dim(T(\mathcal{l}_{1}))[/texx].  Cómo pruebo eso  :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:
En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +3/-0
Desconectado Desconectado

España España

Mensajes: 1.794


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 01 Noviembre, 2019, 03:03 »

Si [texx]T:\mathcal{l}_{1} \rightarrow{ \mathcal{l}_{p} }[/texx] es lineal e inyectiva , entonces  [texx]\dim(\mathcal{l}_{1})=\dim(T(\mathcal{l}_{1}))[/texx].  Como pruebo eso  :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:


Utiliza una base, es decir, una función lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una base vectorial. En este caso tendrás que usar una base de Hamel, la cual existe por el lema de Zorn.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 01 Noviembre, 2019, 09:01 »

Hola

 En esencia basta que pruebes que una aplicación lineal inyectiva lleva vectores linealmente independientes en vectores linealmente independientes.
 
 Es muy inmediato de la definición de independencia lineal y del hecho de que una aplicación es lineal inyectiva si y sólo si su núcleo es cero.

Saludos.
En línea
adhemir
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 278


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 01 Noviembre, 2019, 09:03 »

Una pregunta por acaso no existe algún teorema tipo teorema de la dimensión, para garantizar el resultado, o el unico camino es unsar el lema de Zorn  :¿eh?:
En línea
adhemir
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 278


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 01 Noviembre, 2019, 09:07 »

Hola

 En esencia basta que pruebes que una aplicación lineal inyectiva lleva vectores linealmente independientes en vectores linealmente independientes.
 
 Es muy inmediato de la definición de independencia lineal y del hecho de que una aplicación es lineal inyectiva si y sólo si su núcleo es cero.

Saludos.

Hola , pensaba que ese hecho de que si la aplicación linear e inyectiva entonces el núcleo es cero , vale solamente  para espacios de dimensión finita (que no es el caso) :rodando_los_ojos:
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 01 Noviembre, 2019, 09:21 »

Hola

Hola , pensaba que ese hecho de que si la aplicación linear e inyectiva entonces el núcleo es cero , vale solamente  para espacios de dimensión finita (que no es el caso) :rodando_los_ojos:

¡No!. La dimensión es irrelevante. Si [texx]f[/texx] es inyectiva entonces [texx]f(x)=0=f(0)[/texx] implica que [texx]x=0[/texx] y recíprocamente si el núcleo es cero y [texx]f(x)=f(y)[/texx] entonces [texx]f(x-y)=0[/texx] y como [texx]x-y[/texx] está en el núcleo, [texx]x-y=0[/texx].

Una pregunta por acaso no existe algún teorema tipo teorema de la dimensión, para garantizar el resultado, o el unico camino es unsar el lema de Zorn  :¿eh?:

La dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de cualquiera de sus bases; el Lema de Zorn (o equivalentemente el Axioma de Elección) se utiliza para garantizar la existencia de esa base y por tanto que la definición de definición tiene sentido. Dicho de otra manera el Axioma de Elección es necesario para que el concepto de dimensión esté definido en cualquier espacio vectorial.

Estrictamente en este ejercicio no es que tengas que usar explícitamente el Lema de Zorn; simplemente dar por supuesto que todo espacio vectorial tiene una base.

Saludos.

P.D. En todo esto estoy suponiendo que te refieres a la dimensión como espacio vectorial.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!