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Autor Tema: ¿Cómo probar que el existencial no distribuye respecto a la conjunción?  (Leído 158 veces)
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manooooh
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« : 29/10/2019, 10:12:10 pm »

Hola!

El ejercicio pide marcar la única respuesta correcta: ¿cuál es el equivalente a la siguiente proposición?: \[\neg(\forall x(p(x)\to q(x)))\tag1\]

a) [texx]\forall x(\neg p(x))\wedge\forall x(q(x))[/texx].
b) [texx]\exists x(p(x)\wedge\neg q(x))[/texx]
c) [texx]\forall x(p(x)\wedge\neg q(x))[/texx].
d) [texx]\exists x(p(x))\wedge\exists x(\neg q(x))[/texx].



Claramente la respuesta correcta es la (b). Lo he demostrado con el hecho de que [texx]\neg(\forall x(P(x)))\equiv\exists x(\neg P(x))[/texx] y usando equivalencia del condicional y DeMorgan. Así que las otras tres quedan descartadas.

Mi pregunta es, ¿cómo hacemos para probar que [texx](1)\not\equiv (a)[/texx] c)? ¿También cómo demostramos que [texx](1)\not\equiv(c)[/texx]? ¿Y [texx](1)\not\equiv(d)[/texx]?

Para demostrar que [texx](1)\not\equiv(d)[/texx] lo que hice fue tomar [texx]p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de \(4\)}[/texx] y [texx]q(x)=\text{\(x\) es múltiplo de \(2\)}[/texx]. Luego [texx]p(x)\to q(x)[/texx] es siempre verdadero sea cual sea la [texx]x[/texx], y la negación de eso es siempre falso. Sin embargo, [texx](d)[/texx] es verdadero porque podemos tomar [texx]x=4[/texx], y [texx]4[/texx] es múltiplo de [texx]4[/texx], y podemos tomar [texx]x=3[/texx] para decir que [texx]\neg q(3)[/texx] es verdadero, por tanto [texx]\exists 4(p(4))\wedge\exists 3(\neg q(3))[/texx] es verdadero.

Pero, ¿cómo hacemos para demostrar que [texx](1)[/texx] NO ES equivalente ni a [texx](a)[/texx] ni a [texx](c)[/texx]?

Para [texx](a)[/texx]: Creo que no podemos tomar el mismo contraejemplo porque [texx]\forall x(\neg p(x))[/texx] es siempre falso y falso [texx]\wedge[/texx] algo = falso, y ahí demostraríamos que son equivalentes cuando sabemos que no lo son.

Gracias!!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 30/10/2019, 07:02:28 am »

Hola

Pero, ¿cómo hacemos para demostrar que [texx](1)[/texx] NO ES equivalente ni a [texx](a)[/texx] ni a [texx](c)[/texx]?

Al revés. Toma:

[texx]p(x)=x[/texx] es par
[texx]q(x)=x[/texx] es múltiplo de [texx]4[/texx]

Es falso que par implique múltiplo de [texx]4[/texx] y por tanto (1) es verdadero.

Pero (a) y (c) son claramente falsas porque no es cierto que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] sea ni siempre falso ni siempre verdadero.

Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #2 : 30/10/2019, 05:19:30 pm »

Hola, muchas gracias

[texx]p(x)=x[/texx] es par

Claro, yo diciendo múltiplo de [texx]2[/texx] y vos diciendo que es par... Queda mucho mejor, qué tonto :sonrisa_amplia:.

Es falso que par implique múltiplo de [texx]4[/texx] y por tanto (1) es verdadero.

Esto lo entiendo. Esto no:

Pero (a) y (c) son claramente falsas porque no es cierto que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] sea ni siempre falso ni siempre verdadero.

La clave está en que no entiendo qué querés decir con "no es cierto que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] sea ni siempre falso ni siempre verdadero". ¿Querés decir que dependiendo del valor de [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] puede ser verdadera o falsa y por tanto con un [texx]\forall[/texx] resulta la proposición [texx]\forall x(p(x))[/texx] falsa (tomemos [texx]p(x)\equiv\neg p(x)[/texx] porque es lo mismo, si no es par es impar)?

Lo traduzco como "es falso que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] sea ni siempre falso ni siempre verdadero" pero aun no logro comprenderlo del todo.

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 31/10/2019, 04:08:36 am »

Hola

La clave está en que no entiendo qué querés decir con "no es cierto que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] sea ni siempre falso ni siempre verdadero". ¿Querés decir que dependiendo del valor de [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] puede ser verdadera o falsa y por tanto con un [texx]\forall[/texx] resulta la proposición [texx]\forall x(p(x))[/texx] falsa (tomemos [texx]p(x)\equiv\neg p(x)[/texx] porque es lo mismo, si no es par es impar)?

Lo traduzco como "es falso que para todo [texx]x[/texx], [texx]p(x)[/texx] sea ni siempre falso ni siempre verdadero" pero aun no logro comprenderlo del todo.

Lo que quise decir es que hay valores de [texx]x[/texx] para los cuales [texx]p(x)[/texx] es verdadera y otros valores de [texx]x[/texx] para los cuales [texx]p(x)[/texx] es falsa. Por tanto:

[texx]\forall x(\neg p(x))[/texx] es falso

y

[texx]\forall x(p(x))[/texx] es falso

Saludos.
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« Respuesta #4 : 01/11/2019, 10:02:06 pm »

Hola

Lo que quise decir es que hay valores de [texx]x[/texx] para los cuales [texx]p(x)[/texx] es verdadera y otros valores de [texx]x[/texx] para los cuales [texx]p(x)[/texx] es falsa. Por tanto:

[texx]\forall x(\neg p(x))[/texx] es falso

y

[texx]\forall x(p(x))[/texx] es falso

Ahh de acuerdo. Con mostrar un caso en donde la proposición sea falsa ya el [texx]\forall[/texx] falla. Gracias.

Saludos
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